Determinanto

El Vikipedio

En lineara algebro, determinanto estas funkcio kiu asociigas skalaron det(A) al ĉiu n×n kvadrata matrico A. La fundamenta geometria signifo de determinanto estas kiel la krusta faktoro por volumeno se A estas konsiderita kiel lineara transformo.

Por ĉiu pozitiva entjero n, estas unika determinanta funkcio por la n×n matricoj super ĉiu komuta ringo R. Aparte, ĉi tiu funkcio ekzistas kiam R estas la kampo de reelaj aŭ kompleksaj nombroj.

Determinanto de A estas ankaŭ iam skribita kiel |A|, sed ĉi tiu skribmaniero estas ambigua: ĝi estas ankaŭ uzata por matricaj normoj, kaj por la kvadrata radiko de $A A *$ .

[redaktu] Ĝenerala difino kaj kalkulado

Estu $A = (A_{i,j}) \,$ kvadrata matrico.

Se $A$ estas 1-per-1 matrico, tiam $\det(A) = A_{1,1}. \,$

Se $A$ estas 2-per-2 matrico, tiam $\det(A) = A_{1,1}A_{2,2} - A_{2,1}A_{1,2}. \,$

Por 3-per-3 matrico $A$ , la formulo estas pli komplika:

$\begin{matrix} \det(A) & = & A_{1,1}A_{2,2}A_{3,3} + A_{1,3}A_{2,1}A_{3,2} + A_{1,2}A_{2,3}A_{3,1}\\ & & - A_{1,3}A_{2,2}A_{3,1} - A_{1,1}A_{2,3}A_{3,2} - A_{1,2}A_{2,1}A_{3,3}. \end{matrix}\,$

Por ĝenerala $n$ -per- $n$ matrico, la determinanto estis difinita per leibniz-a formulo:

$\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) \prod_{i=1}^n A_{i, \sigma(i)}.$

La sumo estas komputita super ĉiuj permutoj $σ$ de nombroj {1,2,...,n} kaj $sgn(σ)$ estas signumo de la permuto $σ$ : +1 se $σ$ estas para permuto kaj −1 se ĝi estas nepara.

Ĉi tiu formulo enhavas $n!$ (faktorialon) de termoj kaj pro tio uzin ĝi por kalkuli determinantojn por granda $n$ maloportunas.

Determinanto povas esti komputita kun la gaŭsaj algoritmaj uzante jenajn regulojn:

Se $A$ estas triangula matrico, kio estas $A_{i,j} = 0 \,$ ĉiam $i > j$ , tiam $\det(A) = A_{1,1} A_{2,2} \cdots A_{n,n}. \,$
Se $B$ rezultas de $A$ per interŝanĝo du linioj aŭ kolumnoj, tiam $\det(B) = -\det(A). \,$
Se $B$ rezultas de $A$ per multipliko de unu linio aŭ kolumno kun la nombro $c$ , tiam $\det(B) = c\,\det(A). \,$
Se $B$ rezultas de $A$ per adicio de unu linio kun iu koeficiento al la alia linio, aŭ de unu kolumno kun iu koeficiento al la alia kolumno, tiam $\det(B) = \det(A). \,$

Uzante la lastajn tri regulojn eblas konverti ĉiun matricon en triangulan matricon, tiam eblas uzi la unua regulo por komputi ĝian determinanton.

Ĉi tiu artikolo enhavas dume forkomentitajn partojn de la teksto ĉar ili ankoraŭ ne estas sufiĉe bonaj. Vi povas redakti la paĝon kaj plibonigi kaj malkomenti la forkomentitajn partojn.

Elŝutita el "http://eo.wikipedia.org../../../d/e/t/Determinanto.html"

Kategorioj: Artikoloj kun komentitaj partoj | Matrica teorio | Lineara algebro | Abstrakta algebro | Algebro

Determinanto

El Vikipedio

[redaktu] Ĝenerala difino kaj kalkulado

Views

Navigado

Serĉu

Aliaj lingvoj