Vikipedio:Projekto matematiko/Kristalografia limiga teoremo

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al Kristalografia limiga teoremo (eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

La kristalografia limiga teoremo en ĝia baza (formo, formi) estas la observado (tiu, ke, kiu) la turnaj simetrioj de kristalo estas (limigita, limigis) al 2Oblo, 3Oblo, 4Oblo, kaj 6Oblo. Ĉi tiu estas valida nur por vera (kristaloj, kristalas), kiu havi mova simetrio; estas ankaŭ (kvazaŭkristaloj, kvazaŭkristalas) kun aliaj simetrioj, kiel 5Oblo.

En matematiko, kristalo estas modelita kiel diskreta krado, generita per listo de sendependa finia (tradukoj, tradukas, translacioj, translacias). Ĉar _discreteness_ postulas (tiu, ke, kiu) la _spacings_ inter kradaj punktoj havi suba baro, la grupo de turnaj simetrioj de la krado je (ĉiu, iu) punkto devas esti finia grupo. La forto de la teoremo estas (tiu, ke, kiu) ne ĉiuj finiaj grupoj estas kongrua kun diskreta krado; en (ĉiu, iu) dimensio, ni estos havi nur finia nombro de kongrua (grupoj, grupas).

[redaktu] (Dimensioj, Dimensias) 2 kaj 3

La specialaj okazoj de 2D (papertapetaj grupoj) kaj 3D (spacaj grupoj) estas plej peze uzita en aplikoj, kaj ni povas (trakti, kuraci) ilin kune.

[redaktu] Krada pruvo

Turnada simetrio en dimensio 2 aŭ 3 devas movi krada punkto al sukcedo de aliaj kradaj punktoj en la sama ebeno, generante regula poligono de samebenaj kradaj punktoj. Ni nun limigi nia atento al la ebeno en kiu la simetrio (agoj, agas, operacias, aktoj, aktas).

(Kradoj, Kradas, Latisoj, Latisas) limigi (poligonoj, poligonas)
 Kongrua: 6Oblo (3Oblo), 4Oblo (2Oblo)
 Kongrua: 8Oblo, 5Oblo

Konsideri krado konstruita de egallateraj trianguloj. Tio estas, la kradaj bazvektoroj estas du flankoj de egallatera triangulo, kaj ĉiuj alia (delokigoj, delokigas) estas (sumoj, sumas) de entjero (obloj, oblas) de ĉi tiuj. Kun 60° anguloj je ĉiu vertico, ses de ĉi tiuj trianguloj akurate adapti ((sumo, sumi) al 360°) ĉirkaŭ ĉiu krada punkto, demonstracianta 6Obla turnada simetrio. Anstataŭe konstruaĵo de (kvadratoj, placoj, kvadratigas), la verticaj anguloj estas 90°, kvar adapti ĉirkaŭ ĉiu krada punkto, kaj la turnada simetrio estas 4Oblo. Ĉi tiuj (ekzemploj, ekzemplas) ankaŭ eksponi 3Oblo kaj 2Obla simetrio. Tial la eblecoj inkluzivis per la teoremo ekzisti.

Nun konsideri 8Obla turnado, kaj la (vektoroj, vektoras) inter najbaraj punktoj de la poligono. Se delokigo ekzistas inter (ĉiu, iu) du kradaj punktoj, tiam (tiu, ke, kiu) sama delokigo estas ripetita ĉie en la krado. (Do, Tiel) ĉiu de ĉi tiu rando (vektoroj, vektoras) havas radiusa (kopio, kopii) (komenco, komencanta) je la centro de la oklatero; la 8Obla simetrio de ĉi tiuj _radii_ (implicas, enhavas) alia regula oklatero de kradaj punktoj ĉirkaŭ la kolekta punkto. Sed ĉi tiu estas neebla, ĉar la nova oklatero estas pri 80% (pli minuskla, pli malgranda) ol la originala. La (pezo, signifeco) de la ŝrumpanta estas (tiu, ke, kiu) ĝi estas _unlimited_. La sama konstruado povas ripetiĝi kun la nova oklatero, kaj denove kaj denove ĝis la distanco inter kradaj punktoj estas kiel malgranda kiel ni ŝati; tial ne diskreta krado povas havi 8Obla simetrio. La sama argumento aplikas al (ĉiu, iu) kObla turnado, por k pli granda ol 6.

Ŝrumpanta argumento ankaŭ eliminas 5Obla simetrio. Konsideri regula kvinlatero de kradaj punktoj. Se ĝi ekzistas, tiam ni povas preni ĉiu alia randa delokigo kaj (kapo-al-vosto) munti 5-punkta stelo, kun la lasta rando redonanta al la deirpunkto. La verticoj de tia stelo estas denove verticoj de regula kvinlatero kun 5Obla simetrio, sed pri 60% (pli minuskla, pli malgranda) ol la originala.

(Do, Tiel) la teoremo estas (pruvita, pruvis).

[redaktu] Matrica pruvo

Por alternativa pruvo, konsideri matricaj propraĵoj. La (sumo, sumi) de la diagonalaj eroj de matrico estas (nomita, vokis) la spuro de la matrico. En 2D kaj 3D ĉiu turnado estas _planar_ turnado, kaj la spuro estas funkcio de la angulo sola. Por 2D turnado, la spuro estas 2 cos θ; por 3D turnado, 1 + 2 cos θ.

(Ekzemploj, Ekzemplas)

• Konsideri 60° rotacia matrico ((korespondanta, respektiva) al 6-voja simetrio) kun respekto al ortnormala bazo en 2D.

La spuro estas precize 1, entjero.

• Konsideri 45° rotacia matrico ((korespondanta, respektiva) al 8-voja simetrio).

La spuro estas 2/√2, ne entjero.

• Simile, la spuro de 72° rotacia matrico ((korespondanta, respektiva) al 5-voja simetrio) estos esti la ne-integralo (-1 + √5)/2.

Uzanta krada bazo, neniu orteco nek unua longo estas garantiita, nur sendependeco. Tamen, la spuro estas la sama kun respekto al (ĉiu, iu) bazo. (Simileco (konvertas, konvertoj) konfiti spuro.) En krada bazo, ĉar la turnado devas mapaj kradaj punktoj al kradaj punktoj, ĉiu matrico (termo, koeficiento, elemento) — kaj de ĉi tie la spuro — devas esti entjero. Tial, ekzemple, papertapeto kaj (kristaloj, kristalas) ne povas havi 8Obla turna simetrio. La nur eblecoj estas (obloj, oblas) de 60°, 90°, 120°, kaj 180°, (korespondanta, respektiva) al 6-, 4-, 3-, kaj 2Oblo (rotacioj, rotacias, turnadoj, turnadas).

Ekzemplo

• Konsideri 60° (360°/6) rotacia matrico kun respekto al la oblikva krada bazo por (kahelanta, kahelado) per egallateraj trianguloj.

La spuro estas ankoraŭ 1. La determinanto (ĉiam +1 por turnado) estas ankaŭ konfitis.

La ĝenerala kristalografia limigo sur (rotacioj, rotacias, turnadoj, turnadas) faras ne garantii (tiu, ke, kiu) turnado estos esti kongrua kun specifa krado. Ekzemple, 60° turnado estos ne laboro kun kvadrata krado; nek estos 90° turnada laboro kun rektangula krado.

[redaktu] Pli altaj dimensioj

Kiam la dimensio de la krado (altiĝas, pligrandiĝoj, pligrandiĝas) al kvar aŭ pli, (rotacioj, rotacias, turnadoj, turnadas) (bezoni, bezono, necesa) jam ne esti _planar_; la 2D pruvo estas _inadequate_. Tamen, limigoj ankoraŭ apliki, kvankam pli simetrioj estas _permissible_. Ĉi tiu estas de (interezo, interesi), ne (justa, ĵus) por matematiko, sed por la fiziko de (kvazaŭkristaloj, kvazaŭkristalas) sub la tranĉi-kaj-(projekcii, projekto) teorio. En ĉi tiu vido, 3D kvazaŭkristalo kun 5Obla turnada simetrio povus esti la projekcio de _slab_ tranĉi de _4D_ krado.

Ekzemplo

• Konsideri _4D_ rotacia matrico kun samtempa turnado en du 2D (subspacoj, subspacas).

Ĉi tiu estas turnado ambaŭ per 90° (en la unua du (dimensioj, dimensias)) kaj per 180° (en la lasta du); la spuro estas -2, dum la (mendi, ordo) estas 4.

Al (ŝtato, stato, stati) la limigo por ĉiuj (dimensioj, dimensias), ĝi estas oportuna al (ŝovi, ŝovo) atento for de (rotacioj, rotacias, turnadoj, turnadas) sola kaj (koncentri, koncentriĝi) sur la entjeraj matricoj. Ni diri (tiu, ke, kiu) matrico A havas (mendi, ordo) k kiam ĝia kOna povo (sed ne suba), A^k, egalas la idento. Tial 6Obla rotacia matrico en la egallatera triangula bazo estas entjera matrico kun (mendi, ordo) 6. Estu _Ord__N signifi la aro de (entjeroj, entjeras) (tiu, ke, kiu) povas esti la (mendi, ordo) de N×N entjera matrico. Ekzemple, _Ord_₂ = {1, 2, 3, 4, 6}. Ni deziri al (ŝtato, stato, stati) eksplicita formulo por _Ord__N.

Difini funkcio ψ bazita sur Eŭlera _totient_ funkcio φ; ĝi estos mapo pozitiva (entjeroj, entjeras) al nenegativa (entjeroj, entjeras). Por nepara primo, p, kaj pozitiva entjero, k, aro ψ(p^k) egala al la _totient_ funkcia valoro, φ(p^k), kiu en ĉi tiu (kesto, okazo) estas p^k−p^k−1. Fari la sama por ψ(2^k) kiam k > 1. Aro ψ(2) kaj ψ(1) al 0. Uzanta la fundamenta teoremo de aritmetiko, ni povas skribi (ĉiu, iu) alia pozitiva entjero unike kiel (produkto, produto) de primaj povoj, m = ∏_mi p_mi^kmi; aro ψ(m) = ∑_mi ψ(p_mi^kmi).

La kristalografia limigo en ĝenerala (formo, formi) ŝtatoj (tiu, ke, kiu) _Ord__N konsistas de tiuj pozitiva (entjeroj, entjeras) m tia (tiu, ke, kiu) ψ(m) ≤ N.

(plej minuskla, plej malgranda) dimensio por donita (mendi, ordo)

m	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
ψ(m)	0	0	2	2	4	2	6	4	6	4	10	4	12	6	6

(Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) ĉi tiuj aldonaj simetrioj ne povas permesi _planar_ tranĉaĵo al havi, diri, 8Obla turnada simetrio. En la ebeno, la 2D limigoj ankoraŭ apliki. Tial la (tranĉas, sekcas) kutima modelo (kvazaŭkristaloj, kvazaŭkristalas) bezone havi dikeco.

Plui (tononomo, noto, noti) (tiu, ke, kiu) entjeraj matricoj inkluzivi la plenumi punkta grupo, ne (justa, ĵus) (rotacioj, rotacias, turnadoj, turnadas). Ekzemple, reflekto estas ankaŭ simetrio de (mendi, ordo) 2. Insistanta sur determinanto +1 garnas la grupo al pozitiva (rotacioj, rotacias, turnadoj, turnadas).

[redaktu] Formulaĵo en (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de (izometrioj, izometrias)

La kristalografia limiga teoremo povas esti formulita en (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de (izometrioj, izometrias) de Eŭklida spaco. Aro de (izometrioj, izometrias) povas ariĝi. Per diskreta izometria grupo ni estos (meznombro, signifi) izometria grupo (tiu, ke, kiu) (mapoj, mapas) ĉiu punkto al diskreta subaro de R^N, kio estas aro de izolitaj punktoj. Kun ĉi tiu terminologio, la kristalografia limiga teoremo en du kaj tri (dimensioj, dimensias) povas esti formulita kiel sekvas.

Por ĉiu diskreta izometria grupo en du- kaj tri-dimensia spaco kiu inkluzivas (tradukoj, tradukas, translacioj, translacias) (naskanta, generanta) la tuta spaco, ĉiuj (izometrioj, izometrias) de finia (mendi, ordo) estas de (mendi, ordo) 1, 2, 3, 4 aŭ 6.

(Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) (izometrioj, izometrias) de (mendi, ordo) n inkluzivi, sed estas ne limigita al, nOblo (rotacioj, rotacias, turnadoj, turnadas). La teoremo ankaŭ ekskludas S₈, S₁₂, D_{_4d_}, kaj D_{_6d_} (vidi punktaj grupoj en tri dimensioj), (eĉ, ebena, para) kvankam ili havi 4- kaj 6Obla turna simetrio nur.

(Tononomo, Noto, Noti) ankaŭ (tiu, ke, kiu) turna simetrio de (ĉiu, iu) (mendi, ordo) pri akso estas kongrua kun mova simetrio laŭ (tiu, ke, kiu) akso.

La rezulto en la (baremo, tabelo, tablo) pli supre (implicas, enhavas) (tiu, ke, kiu) por ĉiu diskreta izometria grupo en kvar- kaj kvin-dimensia spaco kiu inkluzivas (tradukoj, tradukas, translacioj, translacias) (naskanta, generanta) la tuta spaco, ĉiuj (izometrioj, izometrias) de finia (mendi, ordo) estas de (mendi, ordo) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, aŭ 12.

[redaktu] Vidi ankaŭ

• Kristalografia punkta grupo
• Kristalografio
• Papertapeta grupo

[redaktu] Ekstera (ligoj, ligas)

• La kristalografia limigo
• Bamberg, _Cairns_, _Kilminster_. La kristalografia limigo, (permutoj, permutas), kaj _Goldbach_'s konjekto