Vikipedio:Projekto matematiko/Neegalaĵo de Ĉebiŝev

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Neegalaĵo de Ĉebiŝev
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

Ĉi tiu artikolo estas ne pri Ĉebiŝev-a's (sumo, sumi) neegalaĵo.

En teorio de probabloj, Neegalaĵo de Ĉebiŝev (ankaŭ sciata kiel Ĉebiŝev-a's neegalaĵo, Ĉebiŝev-a's teoremo, aŭ la _Bienaymé_-Ĉebiŝev-a neegalaĵo), nomis post Pafnuti Ĉebiŝev, kiu unua (pruvita, pruvis) ĝi, ŝtatoj (tiu, ke, kiu) en (ĉiu, iu) datuma specimeno aŭ probablodistribuo, proksime ĉiu (valoroj, valoras) estas proksime al la (meznombro, signifi) valoro, kaj provizas kvanteca priskribo de "proksime ĉiuj" kaj "proksime al". Ekzemple, apenaŭ 1/4 de la (valoroj, valoras) estas pli ol 2 variancaj devioj for de la (meznombro, signifi), apenaŭ 1/9 estas pli ol 3 variancaj devioj for, apenaŭ 1/25 estas pli ol 5 variancaj devioj for, kaj tiel plu.

Enhavo

1 Ĝenerala (propozicio, frazo, ordono)
2 (Rikordaj kazoj, Variantoj, Variantas)
3 Pruvo
- 3.1 Mezuri-teoria pruvo
- 3.2 Probableca pruvo
4 Vidi ankaŭ

[redaktu] Ĝenerala (propozicio, frazo, ordono)

La neegalaĵo povas esti komencita sufiĉe ĝenerale uzanta mezura teorio; la (propozicio, frazo, ordono) en la lingvo de teorio de probabloj tiam sekvas kiel speciala okazo, por spaco de mezuri 1.

[redaktu] Mezuri-teoria (propozicio, frazo, ordono)

Estu (X,Σ,μ) esti mezurhava spaco, kaj estu f esti etendita (reala, reela)-valora mezurebla funkcio difinis sur X. Tiam por (ĉiu, iu) reela nombro t > 0,

$\mu(\{x\in X|\,|f(x)|\geq t\}) \leq {1\over t^2} \int_X f^2 \, d\mu.$

Pli ĝenerale, se g estas nenegativa etendis (reala, reela)-valora mezurebla funkcio, _nondecreasing_ sur la limigo de f, tiam

$\mu(\{x\in X|\,f(x)\geq t\} \leq {1\over g(t)} \int_X g\circ f\, d\mu.$

La antaŭa (propozicio, frazo, ordono) tiam sekvas per difinanta g(t) kiel

$g(t)=\begin{cases}t^2&\mbox{if }t\geq0\\0&\mbox{otherwise,}\end{cases}$

kaj prenante |f| anstataŭ f.

[redaktu] Probableca (propozicio, frazo, ordono)

Estu X esti hazarda variablo kun atendata valoro μ kaj finia varianco σ². Tiam por (ĉiu, iu) reela nombro k > 0,

$\Pr(\left|X-\mu\right|\geq k\sigma)\leq\frac{1}{k^2}.$

Nur la (okazoj, skatoloj, kestoj, kestas, okazas) k > 1 provizi utila informo.

Alia konsekvenco de la teoremo estas (tiu, ke, kiu) por (ĉiu, iu) distribuo kun (meznombro, signifi) μ kaj finia varianca devio σ, almenaŭ duono de la (valoroj, valoras) (mensogi, kuŝi) en la intervalo (μ − √2 σ, μ + √2 σ).

Tipe, la teoremo estos provizi iom laksa (baroj, baras). Tamen, la (baroj, baras) provizita per Neegalaĵo de Ĉebiŝev ne povas, en ĝenerala (cetera sono por (variabloj, variablas) de ajna distribuo), esti plibonigita sur. Ekzemple, por (ĉiu, iu) k > 1, jena ekzemplo (kie σ = 1/k) verigas la (baroj, baras) akurate.

$\begin{matrix}\Pr(X=-1) & = & 1/2k^2 \\ \\ \Pr(X=0) & = & 1 - 1/k^2 \\ \\ \Pr(X=1) & = & 1/2k^2 \end{matrix}$

La teoremo povas esti utila malgraŭ laksa (baroj, baras) ĉar ĝi aplikas al hazarda variablo de (ĉiu, iu) distribuo, kaj ĉar ĉi tiuj (baroj, baras) povas esti kalkulita scianta ne pli pri la distribuo ol la (meznombro, signifi) kaj varianco.

Neegalaĵo de Ĉebiŝev estas uzita por pruvanta la malforta leĝo de grandaj nombroj.

[redaktu] Ekzempla apliko

Por ilustraĵo, alpreni ni havi granda korpo de teksto, ekzemple (artikoloj, artikloj) de eldono. Alpreni ni scii (tiu, ke, kiu) la (artikoloj, artikloj) estas sur averaĝa 1000 signoj longa kun varianca devio de 200 signoj. De Neegalaĵo de Ĉebiŝev ni povas tiam (dedukti, konkludi) (tiu, ke, kiu) almenaŭ 75% de la (artikoloj, artikloj) havi longo inter 600 kaj 1400 signoj (k = 2).

[redaktu] (Rikordaj kazoj, Variantoj, Variantas)

Unu-vostita (rikorda kazo, varianto) kun k > 0, estas

$\Pr(X-\mu \geq k\sigma)\leq\frac{1}{1+k^2}.$

pli forta rezulto aplikebla al _unimodal_ probablodistribuoj estas la _Vysochanski_ï-_Petunin_ neegalaĵo.

[redaktu] Pruvo

[redaktu] Mezuri-teoria pruvo

Estu A_t esti difinita kiel A_t = {x ∈ X | f(x) ≥ t}, kaj estu

$1_{A_t}$

esti la nadla funkcio de la aro A_t. Tiam, ĝi estas facila al kontroli (tiu, ke, kiu)

$0\leq g(t)1_{A_t}\leq g\circ f\,1_{A_t}\leq g\circ f,$

kaj pro tio,

$g(t)\mu(A_t)=\int_X g(t)1_{A_t}\,d\mu\leq\int_{A_t} g\circ f\,d\mu\leq\int_X g\circ f\,d\mu.$

La deziris neegalaĵo sekvas de dividanta la pli supre neegalaĵo per g(t).

[redaktu] Probableca pruvo

Neegalaĵo de Markov ŝtatoj (tiu, ke, kiu) por (ĉiu, iu) (reala, reela)-valora hazarda variablo Y kaj (ĉiu, iu) pozitiva nombro a, ni havi _Pr_(|Y| > a) ≤ E(|Y|)/a. Unidirekta al pruvi Neegalaĵo de Ĉebiŝev estas al apliki Neegalaĵo de Markov al la hazarda variablo Y = (X − μ)² kun a = (σk)².

Ĝi povas ankaŭ esti (pruvita, pruvis) rekte. Por (ĉiu, iu) evento A, estu Mi_A esti la nadla hazarda variablo de A, kio estas Mi_A egalas 1 se A okazas kaj 0 alie. Tiam

$\Pr(|X-\mu| \geq k\sigma) = \operatorname{E}(I_{|X-\mu| \geq k\sigma}) = \operatorname{E}(I_{[(X-\mu)/(k\sigma)]^2 \geq 1})$

$\leq \operatorname{E}\left( \left( {X-\mu \over k\sigma} \right)^2 \right) = {1 \over k^2} {\operatorname{E}((X-\mu)^2) \over \sigma^2} = {1 \over k^2}.$

La direkta pruvo montras kial la (baroj, baras) estas sufiĉe laksa en tipa (okazoj, skatoloj, kestoj, kestas, okazas): la nombro 1 maldekstren de "≥" estas (anstataŭigita, anstataŭigis) per [(X − μ)/(kσ)]² dekstren de "≥" ĉiam la lasta superas 1. En iu (okazoj, skatoloj, kestoj, kestas, okazas) ĝi superas 1 per tre larĝa marĝeno.

[redaktu] Vidi ankaŭ

Neegalaĵo de Markov

Elŝutita el "http://eo.wikipedia.org../../../p/r/o/Vikipedio%7EProjekto_matematiko_Neegala%C4%B5o_de_%C4%88ebi%C5%9Dev_afc6.html"

Kategorioj: Artikoloj por polurado kaj movo | Neegalaĵoj | Teorio de probabloj