Vikipedio:Projekto matematiko/Polinoma interpolo

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Polinoma interpolo
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En la matematika subkorpo de cifereca analitiko, polinoma interpolo estas la interpolo de donita datuma aro per polinomo. En alia (vortoj, vortas), donitaj iuj datumaj punktoj (kiel ricevis per specimenanta), la celi estas al trovi polinomo kiu iras akurate tra ĉi tiuj punktoj.

[redaktu] Aplikoj

(Polinomoj, Polinomas) povas kutimi aproksimi pli komplikaj kurboj, ekzemple, la (formoj, formas) de (leteroj, literoj, leteras, literas) en tipografio, donitaj kelkaj punktoj. Rilatanta apliko estas la pritakso de la natura logaritmo kaj trigonometriaj funkcioj: (preno, preni) kelkaj sciataj datumaj punktoj, krei serĉo (baremo, tabelo, tablo), kaj interpoli inter tiuj datumaj punktoj. Ĉi tiuj rezultoj en grave pli rapida (kalkuladoj, kalkuladas, komputoj, komputas). Polinoma interpolo ankaŭ (formoj, formas) la bazo por (algoritmoj, algoritmas) en cifereca kvadraturo kaj ciferecaj ordinaraj diferencialaj ekvacioj.

[redaktu] Difino

Donita aro de n+1 datumaj punktoj (x_mi,y_mi) kie ne du x_mi estas la sama, unu estas (aspektanta, rigardanta) por polinomo p de grado maksimume n kun la propraĵo

$p(x_i) = y_i \mbox{ , } i=0,\ldots,n.$

La _unisolvence_ teoremo ŝtatoj (tiu, ke, kiu) tia polinomo p ekzistas kaj estas unika.

Al fraza ĝi en (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de lineara algebro: Por n+1 interpolo (verticoj, verticas) tie ekzistas vektora spaca izomorfio

$L_n:\mathbb{K}^{n+1} \to \Pi_n$

kie $Π n$ estas la vektora spaco de (polinomoj, polinomas) kun grado n.

[redaktu] Konstruanta la interpola polinomo

La (ruĝa, legita) (punktoj, punktas) signifi la datumaj punktoj (x_k,y_k), dum la blua kurbo montras la interpola polinomo.

Supozi (tiu, ke, kiu) la interpola polinomo estas en la (formo, formi)

$p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0. \qquad (1)$

La (propozicio, frazo, ordono) (tiu, ke, kiu) p interpolas la datumaj punktoj (meznombroj, meznombras, signifas) (tiu, ke, kiu)

$p(x_i) = y_i,\qquad \forall i \in \left\{ 0, 1, \dots, n\right\}.$

Se ni (anstataŭa, anstataŭigi) ekvacio (1) en ĉi tie, ni preni sistemo de linearaj ekvacioj en la koeficientoj $a k$ . La sistemo en matrico-vektoro (formo, formi) legas

$\begin{bmatrix} x_0^n & x_0^{n-1} & x_0^{n-2} & \ldots & x_0 & 1 \\ x_1^n & x_1^{n-1} & x_1^{n-2} & \ldots & x_1 & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ x_n^n & x_n^{n-1} & x_n^{n-2} & \ldots & x_n & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_n \\ a_{n-1} \\ \vdots \\ a_0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y_0 \\ y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{bmatrix}.$

Ni devi solvi ĉi tiu sistemo por $a k$ al konstrui la _interpolant_ $p (x).$

La matrico maldekstre estas kutime referita al kiel _Vandermonde_ matrico. Ĝia determinanto estas nenulo, kiu (demonstras, pruvas) la _unisolvence_ teoremo: tie ekzistas unika interpolanta polinomo.

[redaktu] Ne-_Vandermonde_ solvaĵoj

Ni estas (penanta, provanta, penante) al konstrui nia unika interpola polinomo en la vektora spaco $Π n$ tio estas la vektora spaco de (polinomoj, polinomas) de grado n. Kiam uzanta unuterma bazo por $Π n$ ni devi solvi la _Vandermonde_ matrico al konstrui la koeficientoj $a k$ por la interpola polinomo. Ĉi tiu povas esti tre (kosta, multekosta, kara) operacio (kiel grafis en taktoperiodoj de komputilo (penanta, provanta, penante) al fari la laboro). Per elektanta alia bazo por $Π n$ ni povas (simpligi, plisimpligi) la kalkulo de la koeficientoj sed tiam kompreneble ni devi fari aldonaj kalkuloj kiam ni bezono al (ekspreso, esprimi) la interpola polinomo en (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de unuterma bazo.

Unu maniero estas al skribi la interpola polinomo en la Neŭtono (formo, formi) kaj uzi la maniero de dividitaj diferencoj al konstrui la koeficientoj. La kosti estas O $(n 2)$ (operacioj, operacias), dum Gaŭsa elimino kostas O $(n 3)$ (operacioj, operacias). Plue, vi nur (bezoni, bezono, necesa) al fari iom de superflua laboro se superflua punkto estas adiciita al la datuma aro, dum por la aliaj manieroj, vi devi refari la tuta kalkulado.

Alia maniero estas al uzi la Lagrange-a (formo, formi) de la interpola polinomo. La rezultanta formulo (tuj, senpere) montras (tiu, ke, kiu) la interpola polinomo ekzistas sub la kondiĉoj komencita en la pli supre teoremo.

La Bernstein-a (formo, formi) estita uzita en konstrua pruvo de la Proksimuma kalkulada teoremo de Weierstrass per Bernstein-a kaj havas nuntempe (konkerita, gajnita) granda graveco en komputila grafiko en la (formo, formi) de _Bezier_ kurboj.

[redaktu] Interpola eraro

Kiam interpolanta donita funkcio f per polinomo de grado n je la (verticoj, verticas) x₀,...,x_n ni preni la eraro

$f(x) - p_n(x) = f[x_0,\ldots,x_n,x] \prod_{i=0}^n (x-x_i)$

kie

$f[x_0,\ldots,x_n,x]$

estas la (notacio, skribmaniero) por dividitaj diferencoj. Kiam f estas n+1 (tempoj, tempas) kontinue diferencialebla sur la (plej minuskla, plej malgranda) intervalo Mi kiu enhavas la (verticoj, verticas) x_mi tiam ni povas skribi la eraro en la Lagrange-a (formo, formi) kiel

$f(x) - p_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \prod_{i=0}^n (x-x_i)$

por iu $ξ$ en Mi. Tial la resto (termo, membro, flanko, termino) en la Lagrange-a (formo, formi) de la Taylor teoremo estas speciala okazo de interpola eraro kiam ĉiu interpolo (verticoj, verticas) x_mi estas identa.

Ĉe egale spacita interpolo (verticoj, verticas) $x i = x 0 + i h$ , ĝi sekvas (tiu, ke, kiu) la interpola eraro estas O $(h n)$ . Tamen, ĉi tiu ne bezone (meznombro, signifi) (tiu, ke, kiu) la eraro iras al nulo kiel n → ∞. Fakte, la eraro (majo, povas) (multigi, pligrandiĝo) sen baro proksima la (randoj, randas, finoj, finas) de la intervalo $[x 0, x n]$ . Ĉi tiu estas (nomita, vokis) Fenomeno de Runge.

La pli supre erara baro (pensigas, sugestas) elektanta la interpolaj punktoj x_mi tia (tiu, ke, kiu) la (produkto, produto) | ∏ (x − x_mi) | estas kiel malgranda kiel ebla. La Ĉebiŝev-a (verticoj, verticas) (efektivigi, atingi) ĉi tiu.

[redaktu] Lebegaj konstantoj

Vidi la ĉefa artikolo: Lebega konstanto.

Ni (fiksi, neŝanĝebligi) la interpolo (verticoj, verticas) x₀, ..., x_n kaj intervalo [a, b] enhavanta ĉiu interpolo (verticoj, verticas). La procezo de interpolo (mapoj, mapas) la funkcio f al polinomo p. Ĉi tiu difinas surĵeto X de la spaco C([a, b]) de ĉiuj kontinuaj funkcioj sur [a, b] al sin. La mapo X estas lineara kaj ĝi estas projekcio sur la subspaco Π_n de (polinomoj, polinomas) de grado n aŭ malpli.

La Lebega konstanto L estas difinita kiel la operatora normo de X. Unu havas (speciala okazo de Lebega lemo):

$\|f-X(f)\| \le (L+1) \|f-p^*\|.$

En alia (vortoj, vortas), la interpola polinomo estas maksimume faktoro (L+1) pli malbona ol la plej bona ebla proksimuma kalkulado. Ĉi tiu (pensigas, sugestas) (tiu, ke, kiu) ni serĉi aro de interpolo (verticoj, verticas) (tiu, ke, kiu) L malgranda. En aparta, ni havi por Ĉebiŝev-a (verticoj, verticas):

$L \ge \frac2\pi \log(n+1) + C \quad\mbox{for some constant } C.$

Ni konkludi denove (tiu, ke, kiu) Ĉebiŝev-a (verticoj, verticas) estas tre bona elekto por polinoma interpolo, kiel la kresko en n estas eksponenta funkcio por samdistanca (verticoj, verticas). Tamen, tiuj (verticoj, verticas) estas ne (optima, optimala).

[redaktu] Konverĝaj propraĵoj

Ĝi estas natura al (demandi, peti), por kiuj klasoj de funkcioj kaj por kiu interpolo (verticoj, verticas) la vico de interpolanta (polinomoj, polinomas) konverĝas al la interpolis funkcio? Konverĝo (majo, povas) esti komprenita en malsama (vojoj, vojas), e.g. punktlarĝa, uniformo aŭ en iu integrala normo. La (aspektoj, aspektas) de uniforma konverĝo estas diskutita pli sube.

Jeno teoremo aspektas al esti iom kuraĝiganta (respondo, respondi):

Por (ĉiu, iu) funkcio f(x) kontinua sur intervalo [a,b] tie ekzistas (baremo, tabelo, tablo) de (verticoj, verticas) por kiu la vico de interpolanta (polinomoj, polinomas)

p n (x)

konverĝas al f(x) unuforme sur [a,b].

Pruvo. Ĝi's klara (tiu, ke, kiu) la vico de (polinomoj, polinomas) de plej bona proksimuma kalkulado $p^*_n(x)$ konverĝas al f(x) unuforme (pro al Proksimuma kalkulada teoremo de Weierstrass). Nun ni havi nur al montri (tiu, ke, kiu) ĉiu $p^*_n(x)$ (majo, povas) esti ricevita per interpolo sur certa (verticoj, verticas). Sed ĉi tiu estas vera pro al speciala propraĵo de (polinomoj, polinomas) de plej bona proksimuma kalkulado sciata de Ĉebiŝev-a _alternance_ teoremo. Aparte, ni scii (tiu, ke, kiu) tia (polinomoj, polinomas) devus sekci f(x) almenaŭ n+1 (tempoj, tempas). Elektanta la punktoj de komunaĵo kiel interpolo (verticoj, verticas) ni ricevi la interpolanta polinomo koincidanta kun la plej bona proksimuma kalkulada polinomo.

La difekti de ĉi tiu maniero, tamen, estas (tiu, ke, kiu) interpolo (verticoj, verticas) devus esti kalkulita denove por ĉiu nova funkcio f(x), sed la algoritmo estas peza al esti realigita ciferece. Faras tie ekzisti sola (baremo, tabelo, tablo) de (verticoj, verticas) por kiu la vico de interpolanta (polinomoj, polinomas) konverĝi al (ĉiu, iu) kontinua funkcio f(x)? La (respondo, respondi) estas bedaŭrinde negativa kiel ĝi estas komencita per jeno teoremo:

Por (ĉiu, iu) (baremo, tabelo, tablo) de (verticoj, verticas) estas kontinua funkcio f(x) sur intervalo [a,b] por kiu la vico de interpolanta (polinomoj, polinomas) (diverĝas, malkonverĝas) sur [a,b].

La pruvo esence uzas la suba bara proksumumo de la Lebega konstanto, kiu ni difinita pli supre al esti la operatora normo de X_n (kie X_n estas la projekcia operatoro sur Π_n). Nun ni (strebi, kandidati) (baremo, tabelo, tablo) de (verticoj, verticas) por kiu

$\lim_{n \to \infty} X_n f = f,$ por (ĉiu, iu) $f \in C([a,b]).$

Pro al la Banaĥo-_Steinhaus_ teoremo, ĉi tiu estas nur ebla kiam (normoj, normas) de X_n estas unuforme barita, kiu ne povas esti vera ekde ni scii (tiu, ke, kiu) $\|X_n\|\geq \frac{2}{\pi} \log(n+1)+C.$

Ekzemple, se samdistancaj punktoj estas elektita kiel interpolo (verticoj, verticas), la funkcio de Fenomeno de Runge demonstracias diverĝenco de tia interpolo. (Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) ĉi tiu funkcio estas ne nur kontinua sed (eĉ, ebena, para) malfinie (tempoj, tempas) diferencialebla sur [−1, 1]. Por pli bona Ĉebiŝev-a (verticoj, verticas), tamen, tia ekzemplo estas multa (pli peza, pli peza) al trovi pro la teoremo:

Por ĉiu absolute kontinua funkcio sur [−1, 1] la vico de interpolanta (polinomoj, polinomas) konstruita sur Ĉebiŝev-a (verticoj, verticas) konverĝas al f(x) unuforme.

[redaktu] Rilatanta (konceptoj, konceptas)

Fenomeno de Runge montras (tiu, ke, kiu) por alta (valoroj, valoras) de n, la interpola polinomo (majo, povas) oscili sovaĝe inter la datumaj punktoj. Ĉi tiu problemo estas kutime malkomponita per la uzi de laŭparta interpola funkcia interpolo. Ĉi tie, la _interpolant_ estas ne polinomo sed laŭparta interpola funkcio: ĉeno de kelkaj (polinomoj, polinomas) de suba grado.

Uzantaj harmonaj funkcioj al interpoli perioda funkcio estas kutime farita uzanta Serio de Fourier, ekzemple en diskreta fourier-a konverto. Ĉi tiu povas vidiĝi kiel (formo, formi) de polinoma interpolo kun harmonaj bazaj funkcioj, vidi trigonometria interpolo kaj trigonometria polinomo.

Hermita interpolo (problemoj, problemas) estas tiuj kie ne nur la (valoroj, valoras) de la polinomo p estas donita, sed ankaŭ iuj derivaĵoj. Interpolo de Birkhoff estas la ĝeneraligo kiu permesas por iuj derivaĵoj al esti donita, sen preciziganta la (valoroj, valoras) de p sin.

[redaktu] Referencoj

_Kendell_ A. _Atkinson_ (1988). An Enkonduko al Cifereca Analitiko (2-a _ed_.), Ĉapitro 3. Johano _Wiley_ kaj (Filoj, Fas). ISBN 0-471-50023-2
L. _Brutman_ (1997), Lebegaj funkcioj por polinoma interpolo — katastro, _Ann_. _Numer_. Math. 4, 111–127.
M.J.Don/Doña _Powell_ (1981). Proksimuma kalkulada Teorio kaj Maniero, Ĉapitro 4. Kembriĝo (Britio) Universitato Premi. ISBN 0-521-29514-9.
_Michelle_ _Schatzman_ (2002). Cifereca Analitiko: A Matematika Enkonduko, Ĉapitro 4. _Clarendon_ Premi, Oksfordo. ISBN 0-19-850279-6.
_Endre_ Sü_li_ kaj Davido _Mayers_ (2003). An Enkonduko al Cifereca Analitiko, Ĉapitro 6. Kembriĝo (Britio) Universitato Premi. ISBN 0-521-00794-1.

Elŝutita el "http://eo.wikipedia.org../../../p/r/o/Vikipedio%7EProjekto_matematiko_Polinoma_interpolo_8f5d.html"

Kategorioj: Artikoloj por polurado kaj movo | Interpolo