Vikipedio:Projekto matematiko/Spektro de ringo

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al Spektro de ringo (eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En abstrakta algebro kaj algebra geometrio, la spektro de komuta ringo R, signifis per _Spec_(R), estas difinita al esti la aro de ĉiuj pozitivaj primaj idealoj de R. Ĝi estas kutime pligrandigita kun la Topologio de Zariski kaj kun struktura fasko, (kurbiĝanta, turnanta, tornanta, kurbiganta) ĝi enen loke (ringis, sonorita) spaco.

Enhavo 1 Topologio de Zariski 2 Kunligaĵoj kaj (komplotas, skemoj, skemas, projektoj, projektas) 3 _Functoriality_ 4 Motivado de algebra geometrio 5 Ekstera ligi

[redaktu] Topologio de Zariski

_Spec_(R) povas esti (turnita, turnis) enen topologia spaco kiel sekvas: subaro V de _Spec_(R) estas (fermita, fermis) se kaj nur se tie ekzistas subaro Mi de R tia (tiu, ke, kiu) V konsistas de ĉiuj tiuj primaj idealoj en R (tiu, ke, kiu) enhavi Mi. Ĉi tiu estas (nomita, vokis) la Topologio de Zariski sur _Spec_(R).

_Spec_(R) estas kompakta spaco, sed preskaŭ neniam Hausdorff-a: fakte, la maksimumaj idealoj en R estas precize la (fermita, fermis) punktoj en ĉi tiu topologio. _Spec_(R) estas ĉiam Kolmogorova spaco, tamen. Ĝi estas spektra spaco.

[redaktu] Kunligaĵoj kaj (komplotas, skemoj, skemas, projektoj, projektas)

Al difini struktura fasko sur _Spec_(R), ni unua difini D_f al esti la aro de ĉiuj primaj idealoj P en _Spec_(R) tia (tiu, ke, kiu) f estas ne en P. {D_f}_f∈R estas bazo por la topologio de malfermitaj aroj. Ni difini fasko sur la D_f per opcio Γ(D_f, O_X)=R_f, la lokaligo de R je la multiplika sistemo {1,f,f²,f³,...}. Ĝi povas esti montrita (tiu, ke, kiu) ĉi tiu (verigas, kontentigas) la necesa (aksiomoj, aksiomas) al esti B-Fasko. Venonta, se U estas la unio de {B_mi}_mi∈Mi, ni estu Γ(U,O_X)=lim_mi∈Mi R_{_fi_}, kaj ĉi tiu produktas fasko; vidi la faska artikolo por pli detalo.

Al ricevi direkta priskribo de Γ(U, O_X) por (ĉiu, iu) malfermita aro U en X, ni (rimarki, avizo) (tiu, ke, kiu) la limigo pli supre havas la universala propraĵo (tiu, ke, kiu) se T estas (ĉiu, iu) komuta ringo kaj R_{_fi_}→T estas (ĉiu, iu) sistemo de (mapoj, mapas) kiu (kongrui, konsenti) kiam limigis al R, tiam estas unika mapo Γ(U,O_X)→T tra kiu la donita (mapoj, mapas) faktoro. Ekde ĉiu f_mi (mapoj, mapas) al unuo en T, se ni estu S esti la multiplika aro generita per {f_mi}_mi∈Mi, tiam per la universala propraĵo de lokaligo ni preni unika mapo S^-1RT tra kiu ĉiu R_{_fi_}→T (faktoroj, faktoras). Ĉi tiu estas la sama universala propraĵo (tiu, ke, kiu) Γ(U,O_X) havas, (do, tiel) Γ(U,O_X)=S^-1R.

Al ricevi (eĉ, ebena, para) pli direkta priskribo de Γ(U, O_X), estu S' esti la komplemento en R de ĉiuj primaj idealoj en U. S' estas multiplika aro, ekde ĝi estas la komunaĵo de la multiplikaj aroj R\P, kie P estas prima idealo en U. Ĉiu f_mi estas en S' , (do, tiel) S⊆S' . Por la alia inkluziveco, elekti g en S' , kaj supozi (tiu, ke, kiu) g estas ne en S. Tiam g estas ne unuo en S^-1R, (do, tiel) ni (majo, povas) trovi prima idealo P de R kiu enhavas g kaj ne verigi S. P devas (mensogi, kuŝi) en U, sed tiam per la difino de S' , g estas ne en S' . (Sekve, Sinsekve), Γ(U, O_X)=S' ^-1R.

Dum ĉi tiu direkta priskribo (majo, povas) aperi utila, plej (operacioj, operacias) sur kunligaĵoj povas pli facile esti portita ekster sur B-kunligaĵoj, kaj ekde B-fasko povas ĉiam esti etendita al fasko en la opcio de (komplotas, skemoj, skemas, projektoj, projektas), ĝi estas kutime pli utila al laboro super bazaj malfermitaj aroj.

Se P estas punkto en _Spec_(R), tio estas, prima idealo, tiam la ŝalmo je P egalas la lokaligo de R je P, kaj ĉi tiu estas loka ringo. (Sekve, Sinsekve), _Spec_(R) estas loke (ringita, sonorita) spaco.

Ĉiu fasko de (ringoj, ringas, sonoras) de ĉi tiu (formo, formi) estas (nomita, vokis) afina skemo. Ĝenerala (komplotas, skemoj, skemas, projektoj, projektas) estas ricevita per "gluanta kune" kelkaj afinaj skemoj.

[redaktu] _Functoriality_

Ĝi estas utila al uzi la lingvo de teorio de kategorioj kaj observi (tiu, ke, kiu) _Spec_ estas _functor_. Ĉiu ringa homomorfio f : R → S konkludas kontinua mapo _Spec_(f) : _Spec_(S) → _Spec_(R) (ekde la antaŭbildo de (ĉiu, iu) prima idealo en S estas prima idealo en R). En tiamaniere, _Spec_ povas vidiĝi kiel kontraŭvarianca _functor_ de la kategorio de komutaj ringoj al la kategorio de topologiaj spacoj. Ankaŭ por ĉiu primo P la homomorfio f descendas al (homomorfioj, homomorfias)

O_f ^-1(P) → O_P,

de lokaj ringoj. Tial _Spec_ (eĉ, ebena, para) difinas kontraŭvarianca _functor_ de la kategorio de komutaj ringoj al la kategorio de loke (ringis, sonorita) (spacoj, kosmoj, spacetoj). Fakte ĝi estas la universala tia _functor_ kaj ĉi tiu povas kutimi difini la _functor_ _Spec_ supren al natura izomorfio.

La _functor_ _Spec_ rendimenta kontraŭvarianca ekvivalento inter la kategorio de komutaj ringoj kaj la kategorio de afinaj skemoj; ĉiu de ĉi tiuj (kategorioj, kategorias) estas ofte penso de kiel la kontraŭa kategorio de la alia.

[redaktu] Motivado de algebra geometrio

Sekva sur de la ekzemplo, en algebra geometrio unu studoj algebraj aroj, kio estas (subaroj, subaras) de Kⁿ (kie K estas algebre fermita kampo) kiu estas difinita kiel la komunaj nuloj de aro de (polinomoj, polinomas) en n (variabloj, variablas). Se A estas tia algebra aro, unu konsideras la komuta ringo R de ĉiuj polinomaj funkcioj A → K. La maksimumaj idealoj de R esti konforma laŭ la punktoj de A (ĉar K estas algebre fermita), kaj la primaj idealoj de R esti konforma laŭ la (subvariecoj, subvariecas) de A (algebra aro estas (nomita, vokis) nereduktebla aŭ (diversaj, diversaĵo) se ĝi ne povas esti skribita kiel la unio de du pozitiva algebra (subaroj, subaras)).

La spektro de R pro tio konsistas de la punktoj de A kaj ankaŭ eroj por ĉiuj (subvariecoj, subvariecas) de A. La punktoj de A estas (fermita, fermis) en la spektro, dum la eroj (korespondanta, respektiva) al (subvariecoj, subvariecas) havi (fermaĵo, adheraĵo) konsistanta de ĉiuj iliaj punktoj kaj (subvariecoj, subvariecas). Se nur unu konsideras la punktoj de A, kio estas la maksimumaj idealoj en R, tiam la Topologio de Zariski difinita pli supre koincidas kun la Topologio de Zariski difinita sur algebraj aroj (kiu havas precize la algebra (subaroj, subaras) kiel fermitaj aroj).

Unu povas tial vido la topologia spaco _Spec_(R) kiel "_enrichment_" de la topologia spaco A (kun Topologio de Zariski): por ĉiu subvarieco de A, unu aldona ne-(fermita, fermis) punkto havas estas prezentita, kaj ĉi tiu punkto "konservas trako" de la (korespondanta, respektiva) subvarieco. Unu (opinias, pensas) de ĉi tiu punkto kiel la ĝenerala punkto por la subvarieco. Plue, la fasko sur _Spec_(R) kaj la fasko de polinomaj funkcioj sur A estas esence identa. Per studantaj spektroj de polinomringoj anstataŭ algebraj aroj kun Topologio de Zariski, unu povas ĝeneraligi la (konceptoj, konceptas) de algebra geometrio al ne-algebre fermitaj kampoj kaj preter, eble alvenanta je la lingvo de (komplotas, skemoj, skemas, projektoj, projektas).

[redaktu] Ekstera ligi

• _Kevin_ R. _Coombes_: La Spektro de Ringo