Vikipedio:Projekto matematiko/Statistika sendependeco

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Statistika sendependeco
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En teorio de probabloj, al diri (tiu, ke, kiu) du (eventoj, eventas) estas sendependa intuicie (meznombroj, meznombras, signifas) (tiu, ke, kiu) scianta ĉu unu de ilin okazas (konstruas, faras) ĝi neniu pli verŝajna nek malpli verŝajna (tiu, ke, kiu) la alia okazas. Ekzemple, la evento de prenanta "1" kiam morti estas _thrown_ kaj la evento de prenanta "1" la (sekundo, dua) tempa ĝi estas _thrown_ estas sendependa.

Simile, kiam ni aserti (tiu, ke, kiu) du hazarda variablo estas sendependa, ni intuicie (meznombro, signifi) (tiu, ke, kiu) scianta io pri la valoro de unu de ilin ne cedi (ĉiu, iu) informo pri la valoro de la alia. Ekzemple, la nombro (aperanta, ŝajnanta, aspektanta) sur la _upward_ (vizaĝo, edro) de morti la unua tempa ĝi estas _thrown_ kaj (tiu, ke, kiu) (aperanta, ŝajnanta, aspektanta) la (sekundo, dua) tempo estas sendependa.

[redaktu] Sendependa (eventoj, eventas)

La norma difino diras:

Du (eventoj, eventas) A kaj B estas sendependa se kaj nur se P(A ∩ B) = P(A)P(B).

Ĉi tie A ∩ B estas la komunaĵo de A kaj B, tio estas, ĝi estas la evento (tiu, ke, kiu) ambaŭ (eventoj, eventas) A kaj B okazi.

Pli ĝenerale, (ĉiu, iu) kolekto de (eventoj, eventas) -- eble pli ol (justa, ĵus) du de ilin -- estas reciproke sendependa se kaj nur se por (ĉiu, iu) finia subaro A₁, ..., A_n de la kolekto ni havi

$P(A_1 \cap \cdots \cap A_n)=P(A_1)\,\cdots\,P(A_n).$

Ĉi tiu estas (nomita, vokis) la multiplika regulo por sendependa (eventoj, eventas).

Se du (eventoj, eventas) A kaj B estas sendependa, tiam la kondiĉa probablo de A donita B estas la sama kiel la "senkondiĉa" (aŭ "bagatela") probablo de A, tio estas,

$P(A\mid B)=P(A).$

Estas almenaŭ du kaŭzoj kial ĉi tiu (propozicio, frazo, ordono) estas ne prenita al esti la difino de sendependeco: (1) la du (eventoj, eventas) A kaj B ne ludi simetria (roloj, rolas) en ĉi tiu (propozicio, frazo, ordono), kaj (2) (problemoj, problemas) ekesti kun ĉi tiu (propozicio, frazo, ordono) kiam (eventoj, eventas) de probablo 0 estas koncernata.

Kiam unu memoras (tiu, ke, kiu) la kondiĉa probablo P(A | B) estas donita per

$P(A\mid B)={P(A \cap B) \over P(B)},$

unu vidas (tiu, ke, kiu) la (propozicio, frazo, ordono) pli supre estas ekvivalento al

$P(A \cap B)=P(A)P(B)$

kiu estas la norma difino donita pli supre.

[redaktu] Sendependa hazarda variablo

Kio estas difinita pli supre estas sendependeco de (eventoj, eventas). En ĉi tiu sekcio ni (trakti, kuraci) sendependeco de hazarda variablo. Se X estas (reala, reela)-valora hazarda variablo kaj a estas nombro, tiam la evento (tiu, ke, kiu) X &_le_; a estas evento, (do, tiel) ĝi (konstruas, faras) (senso, senco) al paroli de ĝia estante, ĉu ne estante, sendependa de alia evento.

Du hazarda variablo X kaj Y estas sendependa se kaj nur se por (ĉiu, iu) nombroj a kaj b la (eventoj, eventas) [X ≤ a] (la evento de X estante malpli ol aŭ egala al a) kaj [Y ≤ b] estas sendependa (eventoj, eventas) kiel difinis pli supre. Simile ajna kolekto de hazarda variablo -- ebla pli ol (justa, ĵus) du de ilin -- estas sendependa precize se por (ĉiu, iu) finia kolekto X₁, ..., X_n kaj (ĉiu, iu) finia aro de nombroj a₁, ..., a_n, la (eventoj, eventas) [X₁ ≤ a₁], ..., [X_n ≤ a_n] estas sendependa (eventoj, eventas) kiel difinis pli supre.

La mezuri-teorie inklina (majo, povas) preferi al (anstataŭa, anstataŭigi) (eventoj, eventas) [X ∈ A] por (eventoj, eventas) [X ≤ a] en la pli supre difino, kie A estas (ĉiu, iu) Borela aro. (Tiu, Ke, Kiu) difino estas akurate ekvivalento al la unu pli supre kiam la (valoroj, valoras) de la hazarda variablo estas reelaj nombroj. Ĝi havas la avantaĝo de laborante ankaŭ por komplekso-valora hazarda variablo aŭ por hazarda variablo prenante (valoroj, valoras) en (ĉiu, iu) topologia spaco.

Se (ĉiu, iu) du de kolekto de hazarda variablo estas sendependa, ili (majo, povas) _nonetheless_ manki al esti reciproke sendependa; ĉi tiu estas (nomita, vokis) duoplarĝa sendependeco.

Se X kaj Y estas sendependa, tiam la ekspekta operatoro E havas la nica propraĵo

E[X Y] = E[X] E[Y],

kaj por la varianco ni havi

_var_(X + Y) = _var_(X) + _var_(Y),

(do, tiel) la kunvarianco _cov_(X,Y) estas nulo. (La konversacii de ĉi tiuj, kio estas la propozicio (tiu, ke, kiu) se du hazarda variablo havi kunvarianco de 0 ili devas esti sendependa, estas ne vera. Vidi nekorelaciigita.)

Plue, hazarda variablo X kaj Y kun distribuaj funkcioj F_X(x) kaj F_Y(y), kaj probablodensoj f_X(x) kaj f_Y(y), estas sendependa se kaj nur se la kombinita hazarda variablo (X,Y) havas artika distribuo

F X, Y (x, y) = F X (x) F Y (y),

aŭ ekvivalente, artika denseco

f X, Y (x, y) = f X (x) f Y (y).

Similaj esprimoj _characterise_ sendependeco pli ĝenerale por pli ol du hazarda variablo.

[redaktu] Kondiĉe sendependa hazarda variablo

Intuicie, du hazarda variablo X kaj Y estas kondiĉe sendependa donita Z se, iam Z estas sciata, la valoro de Y ne adicii (ĉiu, iu) aldona informo pri X. Ekzemple, du (mezuroj, mezuras) X kaj Y de la sama suba kvanto Z estas ne sendependa, sed ili estas kondiĉe sendependa donita Z (se ne la eraroj en la du (mezuroj, mezuras) estas iel koneksa).

La formala difino de kondiĉa sendependeco estas bazita sur la ideo de kondiĉaj distribuoj. Se X, Y, kaj Z estas diskretaj hazardaj variabloj, tiam ni difini X kaj Y al esti kondiĉe sendependa donita Z se

P(X = x, Y = y | Z = z) = P(X = x | Z = z) · P(Y = y | Z = z)

por ĉiuj x, y kaj z tia (tiu, ke, kiu) P(Z = z) > 0. Aliflanke, se la hazarda variablo estas kontinua kaj havi kuna probabla denseca funkcio p, tiam X kaj Y estas kondiĉe sendependa donita Z se

p_{_XY_|Z}(x, y | z) = p_X|Z(x | z) · p_Y|Z(y | z)

por ĉiuj reelaj nombroj x, y kaj z tia (tiu, ke, kiu) p_Z(z) > 0.

Se X kaj Y estas kondiĉe sendependa donita Z, tiam

P(X = x | Y = y, Z = z) = P(X = x | Z = z)

por (ĉiu, iu) x, y kaj z kun P(Z = z) > 0. Tio estas, la kondiĉa distribuo por X donita Y kaj Z estas la sama kiel (tiu, ke, kiu) donita Z sola. Simila ekvacio tenas por la kondiĉaj probablaj densecaj funkcioj en la kontinua (kesto, okazo).

Sendependeco povas vidiĝi kiel speciala speco de kondiĉa sendependeco, ekde probablo povas vidiĝi kiel speco de kondiĉa probablo donita ne (eventoj, eventas).