Vikipedio:Projekto matematiko/Teoremo de Cantor

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Teoremo de Cantor
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

(Tononomo, Noto, Noti): por ke plene kompreni ĉi tiu artikolo vi (majo, povas) bezono al referi al la aroteoria porcio de la tabelo de matematikaj simboloj.

En _Zermelo_-_Fränkel_ aroteorio, Teoremo de Cantor ŝtatoj (tiu, ke, kiu) la aro de ĉiuj subaroj (aro de ĉiuj subaroj) de (ĉiu, iu) aro A havas severe pli granda kardinalo ol (tiu, ke, kiu) de A. Teoremo de Cantor estas evidenta por finiaj aroj, sed surprize ĝi tenas vera por malfiniaj aroj kiel bone. En aparta, la aro de ĉiuj subaroj de kalkuleble malfinia aro estas un-kalkuleble malfinio. Al ilustri la vereco de Teoremo de Cantor por malfiniaj aroj, (justa, ĵus) prova malfinia aro en la pruvo pli sube.

Enhavo

1 La pruvo
2 A detalis ekspliko de la pruvo kiam X estas kalkuleble malfinio
3 Historio
4 Vidi ankaŭ

[redaktu] La pruvo

Estu f esti (ĉiu, iu) funkcio de A enen la aro de ĉiuj subaroj de A. Ĝi devas esti montrita (tiu, ke, kiu) f estas bezone ne (surjekcia, surĵeta). Al fari (tiu, ke, kiu), ĝi estas sufiĉa al eksponi subaro de A tio estas ne en la bildo de f. (Tiu, Ke, Kiu) subaro estas

$B=\left\{\,x\in A : x\not\in f(x)\,\right\}.$

Al montri (tiu, ke, kiu) B estas ne en la bildo de f, supozi (tiu, ke, kiu) B estas en la bildo de f. Tiam por iu y ∈ A, ni havi f(y) = B. Nun konsideri ĉu y ∈ B ĉu ne. Se y ∈ B, tiam y ∈ f(y), sed (tiu, ke, kiu) (implicas, enhavas), per difino de B, (tiu, ke, kiu) y ∉ B. Aliflanke, se y ∉ B, tiam y ∉ f(y) kaj pro tio y ∈ B. Ĉu vojo, ni preni kontraŭdiro.

Pro la duopa aper(aĵ)o de x en la esprimo "x ∉ f(x)", ĉi tiu estas diagonala argumento.

[redaktu] A detalis ekspliko de la pruvo kiam X estas kalkuleble malfinio

Al preni anso sur la pruvo, estu's ekzameni ĝi por la specifa (kesto, okazo) kiam X estas kalkuleble malfinio. Sen malprofito de universaleco, ni (majo, povas) preni X = N = {1, 2, 3,...}, la aro de naturaj nombroj.

Supozi (tiu, ke, kiu) N estas (dissurĵeta, bijekcia) kun ĝia aro de ĉiuj subaroj P(N). Estu ni vidi specimeno de kio P(N) (aspektas, aspektoj, rigardas) ŝati:

$P(\mathbb{N})=\{\varnothing,\{1, 2\}, \{1, 2, 3\}, \{4\}, \{1, 5\}, \{3, 4, 6\}, \{2, 4, 6,...\},...\}$

P(N) enhavas malfinio (subaroj, subaras) de N, e.g. la aro de ĉiuj (eĉ, ebena, para) nombroj {2, 4, 6,...}, kaj ankaŭ la malplena aro.

Nun (tiu, ke, kiu) ni havi anso sur kio la eroj de P(N) aspekti, estu ni provi al paro for ĉiu ero de N kun ĉiu ero de P(N) al montri (tiu, ke, kiu) ĉi tiuj malfiniaj aroj estas (dissurĵeta, bijekcia). En alia (vortoj, vortas), ni estos provi al paro for ĉiu ero de N kun ero de la malfinia aro P(N), tiel ke ne ero de ĉu malfinia aro restas malduopigita. Tia provi al paraj eroj devus aspekti ĉi tiu:

$X\begin{Bmatrix} 1 & \Longleftrightarrow & \{4, 5\}\\ 2 & \Longleftrightarrow & \{1, 2, 3\} \\ 3 & \Longleftrightarrow & \{4, 5, 6\} \\ 4 & \Longleftrightarrow & \{1, 3, 5\} \\ \vdots & \vdots & \vdots \end{Bmatrix}P(\mathbb{N})$

Iuj naturaj nombroj estas parita kun (subaroj, subaras) (tiu, ke, kiu) ne enhavi ilin. Ekzemple, en nia ekzemplo la nombro 1 estas parita kun la subaro {4, 5}. Aliaj naturaj nombroj estas parita kun (subaroj, subaras) (tiu, ke, kiu) fari enhavi ilin. Ekzemple, la nombro 2 estas parita kun la subaro {1, 2, 3}.

Uzanta ĉi tiu ideo, estu ni (masoni, ĉarpenti, konstrui) speciala aro de naturaj nombroj. Ĉi tiu aro estos provizi la kontraŭdiro ni (strebi, kandidati). Estu D esti la aro de ĉiuj naturaj nombroj kiu estas parita kun (subaroj, subaras) (tiu, ke, kiu) ne enhavi ilin. Per difina nia aro de ĉiuj subaroj P(N) devas enhavi ĉi tiu aro D kiel ero. Pro tio, D devas lokiĝi en nia kolumno de (subaroj, subaras) al esti parita for. Tamen, ĉi tiu kaŭzas problemo, ĉar kun kiu natura nombro povas D esti parita? Se D estas parita kun natura nombro, ni devas decidi ĉu al loko ĉi tiu natura nombro enen D. Se ni decidi al konservi ĉi tiu natura nombro el D, ni estas (tuj, senpere) fortis al loka ĝi enen D, per la tre difino de D. Per la sama ĵetono, iam ni loko la natura nombro enen D, ni estas (tuj, senpere) fortis al forpreni la nombro de D, iam denove per la difino de D. Ĉi tiu estas kontraŭdiro ĉar la natura nombro ne povas esti ambaŭ ene kaj ekster D samtempe. Pro tio, estas ne natura nombro kiu povas esti parita kun D, kaj ni havi kontraŭdirita nia originala konjekto, (tiu, ke, kiu) estas reciproke unuvalora surĵeto inter N kaj P(N).

Tra ĉi tiu pruvo per kontraŭdiro ni havi pruvita (tiu, ke, kiu) la kardinalo de N kaj P(N) ne povas esti egala. Ni ankaŭ scii (tiu, ke, kiu) la kardinalo de P(N) ne povas esti malpli ol la kardinalo de N ĉar P(N) enhavas ĉiuj _singletons_, per difino, kaj ĉi tiuj _singletons_ (formo, formi) "(kopio, kopii)" de N ene de P(N). Pro tio, nur unu ebleco restas, kaj tio estas la kardinalo de P(N) estas severe pli granda ol la kardinalo de N, kaj ĉi tiu (demonstras, pruvas) Teoremo de Cantor.

[redaktu] Historio

Cantor-a donis esence ĉi tiu pruvo en papero (publikigita, publikigis) en 1891 _Ueber_ _eine_ _elementare_ _Frage_ _der_ _Mannigfaltigkeitslehre_, kie la diagonala argumento por la nekalkulebleco de la reelaj nombroj ankaŭ unua (aperas, ŝajnas, aspektas) (li havis pli frua (pruvita, pruvis) la nekalkulebleco de la reelaj nombroj per aliaj manieroj). La versio de ĉi tiu argumenta li donis en (tiu, ke, kiu) papero estis frazita en (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de nadlaj funkcioj sur aro iom ol (subaroj, subaras) de aro. Li montris (tiu, ke, kiu) se f estas funkcio difinis sur X kies (valoroj, valoras) estas 2-valoraj funkcioj sur X, tiam la 2-valora funkcio G(x) = 1 − f(x)(x) estas ne en la limigo de f.

Russell-a havas tre simila pruvo en (Principoj, Principas) de Matematiko (1903, sekcio 348), kie li montras (tiu, ke, kiu) (tiu, ke, kiu) estas pli proponaj funkcioj ol (objektoj, objektas). "Por supozi korelacio de ĉiuj (objektoj, objektas) kaj iuj proponaj funkcioj al havi estas afektita, kaj estu φ-x esti la _correlate_ de x. Tiam "ne-φ-x(x)," kio estas "φ-x ne teni de x" estas propona funkcio ne enhavis en ĉi tiu korelacio; por ĝi estas vera aŭ malvera de x (akordiĝanta, konsentanta, agordanta, konkordanta, akordanta) kiel φ-x estas malvera aŭ vera de x, kaj pro tia ĝi diferencas de φ-x por ĉiu valoro de x." Li (atribuas, atributoj, atributas) la ideo malantaŭ la pruvo al Cantor-a.

_Ernst_ _Zermelo_ havas teoremo (kiu li (vokas, vokoj) "Cantor-a's Teoremo") tio estas identa al la (formo, formi) pli supre en la papero (tiu, ke, kiu) iĝis la (fundamento, subkonstruaĵo) de moderna aroteorio ("_Untersuchungen_ _über_ morti _Grundlagen_ _der_ _Mengenlehre_ Mi"), (publikigita, publikigis) en 1908. Vidi _Zermelo_ aroteorio.

Por unu konsekvenco de Teoremo de Cantor, vidi bet-nombroj.