Vikipedio:Projekto matematiko/Triangula matrico

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Triangula matrico
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En la matematika disciplino de lineara algebro, triangula matrico estas speciala speco de kvadrata matrico kie la elementoj pli sube aŭ pli supre la ĉefa diagonalo estas nulo. Ĉar matricaj ekvacioj kun triangulaj matricoj estas facila al solvi ili estas tre grava en cifereca analitiko. La _LU_ malkomponaĵo donas algoritmo al malkomponi (ĉiu, iu) inversigebla matrico A enen normigita suba triangula matrico L kaj supra triangula matrico U.

[redaktu] Difino

Matrico

$\mathbf{L}= \begin{bmatrix} l_{1,1} & & & & 0 \\ l_{2,1} & l_{2,2} & & & \\ l_{3,1} & l_{3,2} & \ddots & & \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \\ l_{n,1} & l_{n,2} & \ldots & l_{n,n-1} & l_{n,n} \end{bmatrix}$

estas (nomita, vokis) suba triangula matrico aŭ (maldekstre, restis) triangula matrico, kaj analoge matrico de la (formo, formi)

$\mathbf{U} = \begin{bmatrix} u_{1,1} & u_{1,2} & u_{1,3} & \ldots & u_{1,n} \\ & u_{2,2} & u_{2,3} & \ldots & u_{2,n} \\ & & \ddots & \ddots & \vdots \\ & & & \ddots & u_{n-1,n}\\ 0 & & & & u_{n,n} \end{bmatrix}$

estas (nomita, vokis) supra triangula matrico aŭ (ĝusta, dekstra, rajto) triangula matrico.

Triangula matrico kun nulaj elementoj sur la ĉefa diagonalo estas severe supra aŭ suba triangula. Ĉiuj severe triangulaj matricoj estas (nulpotenca, nilpotenta).

Se la elementoj sur la ĉefa diagonalo estas 1, la matrico estas (termita, membrita, flankita, terminita) unuo supra/suba aŭ normigita supra/suba triangula. Se, aldone, ĉiuj kromdiagonalaj elementoj estas nulo krom la elementoj en unu kolumno, tiam la matrico estas atoma supra/suba triangula; tia matrico estas ankaŭ (nomita, vokis) Gaŭso (transformo) matrico. (Do, Tiel) atoma suba triangula matrico estas de la (formo, formi)

$\mathbf{L}_{i} = \begin{bmatrix} 1 & & & & & 0 \\ & \ddots & & & & \\ & & 1 & & & \\ & & l_{i+1,i} & \ddots & & \\ & & \vdots & & \ddots & \\ 0 & & l_{n,i} & & & 1 \\ \end{bmatrix}.$

La inverso de atoma triangula matrico estas denove atoma triangula. Ja, ni havi

$\mathbf{L}_{i}^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & & & & & 0 \\ & \ddots & & & & \\ & & 1 & & & \\ & &-l_{i+1,i} & \ddots & & \\ & & \vdots & & \ddots & \\ 0 & & -l_{n,i} & & & 1 \\ \end{bmatrix},$

kio estas la kromdiagonalaj elementoj estas (anstataŭigita, anstataŭigis) per ilia _opposites_.

[redaktu] (Tononomoj, Notoj, Notas)

Matrico kiu estas samtempe supra kaj suba triangula estas diagonalo. La identa matrico estas la nur matrico kiu estas ambaŭ normigita supra kaj suba triangula.

Matrico kiu estas samtempe triangula kaj normala, estas ankaŭ diagonalo. Ĉi tiu povas vidiĝi per (aspektanta, rigardanta) je la diagonalaj elementoj de A^*A kaj Aa^*, kie A estas normala, triangula matrico.

La transponi de supra triangula matrico estas suba triangula matrico kaj (malvirto, ŝraŭbtenilo) _versa_. La determinanto de triangula matrico egalas la (produkto, produto) de la diagonalaj elementoj, kaj la (ajgenoj, ajgenas) de triangula matrico estas la diagonalaj elementoj.

La (variablo, varianta) L estas kutime uzita por suba triangula matrico, staranta por suba/(maldekstre, restis), dum la (variablo, varianta) U aŭ R estas kutime uzita por supra triangula matrico, staranta por supra/(ĝusta, dekstra, rajto).

Ĝenerale, (operacioj, operacias) povas esti (aperita, plenumita) sur triangulaj matricoj en duono de la tempa tio estas (bezonata, bezonis) por la sama operacio sur ĝenerala matrico.

[redaktu] (Ĝeneraligoj, Ĝeneraligas)

La (produkto, produto) de du supraj triangulaj matricoj estas supra triangula, (do, tiel) la aro de supraj triangulaj matricoj (formoj, formas) algebro. (Algebroj, Algebras) de supraj triangulaj matricoj havi natura ĝeneraligo en funkcionalaj analitikaj kiuj rendimentaj nestaj algebroj sur Hilbertaj spacoj.

La aro de inversigeblaj triangulaj matricoj ariĝi, kaj estas subgrupo de ĉiuj inversigeblaj matricoj. La aro de 2 per 2 triangulaj matricoj estas (nomita, vokis) la parabola subgrupo; 3 per 3 kaj pli grandaj normigitaj triangulaj matricoj (formo, formi) la Grupo de Heisenberg. Ambaŭ estas (ekzemploj, ekzemplas) de Borela subgrupo.

[redaktu] (Ekzemploj, Ekzemplas)

La matrico

$\begin{bmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 0 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$

estas supra triangula kaj

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 8 & 0 \\ 4 & 9 & 7 \\ \end{bmatrix}$

estas suba triangula.

La matrico

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$

estas atoma suba triangula kaj ĝia inverso estas

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -4 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}.$

[redaktu] Apliko

Matrica ekvacio en la (formo, formi)

$\mathbf{L}\mathbf{x} = \mathbf{b}$

aŭ

$\mathbf{U} \mathbf{x} = \mathbf{b}$

estas tre facila al solvi. La matrica ekvacio _Lx_ = b povas esti skribita kiel sistemo de linearaj ekvacioj

$\begin{matrix} l_{1,1} x_1 & & & & & = & b_1 \\ l_{2,1} x_1 & + & l_{2,2} x_2 & & & = & b_2 \\ \vdots & & \vdots & \ddots & & & \vdots \\ l_{m,1} x_1 & + & l_{m,2} x_2 & + \ldots + & l_{m,m} x_m & = & b_m \\ \end{matrix}$