Función de Bessel

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En matemática, las funciones de Bessel, primero definidas por el matemático Daniel Bernoulli y más tarde generalizadas por Friedrich Bessel, son soluciones canónicas y(x) de la ecuación diferencial de Bessel:

$x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + (x^2 - n^2)y = 0$

(1)

donde α es un número real o complejo. El caso más común es cuando n es un entero n, aunque la solución para n no enteros es similar. El número n se denomina orden de las funciones de Bessel asociadas a dicha ecuación.

Dado que la ecuación anterior es una ecuación diferencial de segundo orden, tiene dos soluciones linealmente independientes.

[editar] Funciones de Bessel ordinarias

Las funciones de Bessel ordinarias de orden n, llamadas simplemente funciones de Bessel de orden n son soluciones de la ecuación de Bessel (1). Existen dos formas simples de expresar la solución general de la ecuación diferencial de Bessel con parámetro n, que están asociadas a las funciones de Bessel ordinarias de primera y de segunda especie.

[editar] Funciones de Bessel de primera especie

Las funciones de Bessel de primera especie y orden n vienen dadas por:

$J_n(x)= \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k(x/2)^{n+2k}}{k!\Gamma(n+k+1)}=\frac{x^n}{2^n\Gamma(n+1)} \left[ 1-\frac{x^2}{2(2n+2)}+\frac{x^4}{2\cdot4(2n+2)(2n+4)}-\ldots \right]$

Estas funciones cumplen que:

Si $n\notin\mathbb{Z}$ entonces $J n (x)$ y $J - n (x)$ son linealmente independientes, y por tanto dan una solución general de la ecuación de Bessel.
Si $n\notin\mathbb{Z}$ entonces $J - n (x)$ no está definida en x = 0.

Como casos particulares, se tienen las dos primeras funciones de Bessel enteras:

$J_0(x)= 1-\frac{x^2}{2^2}+\frac{x^4}{2^2 4^2}-\frac{x^6}{2^2 4^2 6^2}\ldots$

$J_1(x)= \frac{x}{2}-\frac{x^3}{2^2 4}+\frac{x^5}{2^2 4^2 6}-\frac{x^7}{2^2 4^2 6^2 8}\ldots$

$J'_0(x)= \frac{dJ_0(x)}{dx} = -J_1(x)$

[editar] Funciones de Bessel de segunda especie

Las funciones de Bessel de segunda especie y orden n se definen a partir de las funciones de primera especie mediante las siguientes fórmulas:

$Y_n(x) = \begin{cases} \cfrac{J_n(x)cos(n\pi)-J_{-n}(x)}{sin(n\pi)} & n \notin \mathbb{Z}\\ \lim_{p\to n} \cfrac{J_p(x)cos(p\pi)-J_{-p}(x)}{sin(p\pi)} & n \in \mathbb{Z} \end{cases}$

A estas funciones también se les da el nombre de funciones de Weber o funciones de Neumann (y a veces se denotan como $N n (x)$ ]

[editar] Solución general de la ecuación de Bessel

La solución general de la ecuación diferencial de Bessel con parámetro n viene dada en términos de las funciones de Bessel ordinarias. Dicha solución general puede expresarse como:

$\begin{cases} y(x) = AJ_n(x)+BJ_{-n}(x) & n \notin \mathbb{Z} \\ y(x) = AJ_n(x)+BY_{n}(x) & \forall n \in \mathbb{R} \\ y(x) = AJ_n(x)+BJ_{n}(x)\int\cfrac{dx}{xJ_n^2(x)} & \forall n \in \mathbb{R} \end{cases}$

(2)

Donde A y B son dos constantes arbitrarias.

[editar] Propiedades de las funciones de Bessel ordinarias

[editar] Funciones de Bessel modificadas

Las funciones de Bessel modificadas son similares a las funciones de Bessel ordinarias pero están relacionadas con la solución general de la ecuación de Bessel modificada:

$x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + (x^2 + n^2)y = 0$

(3)

[editar] Funciones de Bessel modificadas de primera especie

Las funciones de Bessel modificadas de primera especie y orden n vienen dadas por:

$I_n(x)= \sum_{k=0}^\infty \frac{(x/2)^{n+2k}}{k!\Gamma(n+k+1)}=\frac{x^n}{2^n\Gamma(n+1)} \left[ 1+\frac{x^2}{2(2n+2)}+\frac{x^4}{2\cdot4(2n+2)(2n+4)}+\ldots \right]$

Están relacionadas con las funciones de Bessel ordinarias mediante la relación $I_n(x) = i^{-n}J_n(ix) = e^{-n\pi i/2}J_n(ix)\;$ .
Si $n\notin\mathbb{Z}$ entonces $I n (x)$ y $I - n (x)$ son linealmente independientes, y por tanto dan una solución general de la ecuación de Bessel.
Si $n\notin\mathbb{Z}$ entonces $J - n (x)$ no está definida en x = 0.

Casos particulares:

$I_0(x)= 1+\frac{x^2}{2^2}+\frac{x^4}{2^2 4^2}+\frac{x^6}{2^2 4^2 6^2}\ldots$

$I_1(x)= \frac{x}{2}+\frac{x^3}{2^2 4}+\frac{x^5}{2^2 4^2 6}+\frac{x^7}{2^2 4^2 6^2 8}\ldots$

$I'_0(x)= \frac{dI_0(x)}{dx} = J_1(x)$

[editar] Funciones de Bessel modificadas de segunda especie

Las funciones de Bessel modificadas de segunda especie y orden n se definen a partir de las funciones modificadas de primera especie mediante las siguientes fórmulas:

$K_n(x) = \begin{cases} \cfrac{\pi}{2sin(n\pi)}(I_{-n}(x)-I_n(x)) & n \notin \mathbb{Z}\\ \lim_{p\to n} \cfrac{\pi}{2sin(n\pi)}(I_{-p}(x)-I_p(x)) & n \in \mathbb{Z} \end{cases}$

[editar] Solución general de la ecuación de Bessel modificada

La solución general de la ecuación diferencial de Bessel modificada con parámetro n viene dada por:

$\begin{cases} y(x) = AI_n(x)+BI_{-n}(x) & n \notin \mathbb{Z} \\ y(x) = AI_n(x)+BK_{n}(x) & \forall n \in \mathbb{R} \\ y(x) = AI_n(x)+BI_{n}(x)\int\cfrac{dx}{xI_n^2(x)} & \forall n \in \mathbb{R} \end{cases}$