Besslova funkcija

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Besslove funkcije [béslove fúnkcije] (pogosteje: Bésselove f.) so družina transcendentnih funkcij, ki rešijo Besslovo (pogosteje: Besselovo) diferencialno enačbo:

$x^{2} \frac{d^{2}y}{dx^{2}} + x \frac{dy}{dx}+\left( x-\nu \right) y=0$

Kot prvi jih je definiral švicarski matematik Daniel Bernoulli in jih poimenoval po Friedrichu Besslu.

[uredi] Uporabnost Besslovih funkcij

Besslova enačba se pojavi pri analitičnem reševanju nekaterih problemov matematične fizike v valjasti ali krogelni geometriji, kot na primer:

prevajanje toplote ali difuzija v valju
nihanje tankega valja
elekromagnetna valovanja v valjastem valovnem vodniku.

V teh primerih Besselove funkcije opisujejo dogajanje podobno kot harmonične funkcije (sinus, cosinus) v pravokotni geometriji.

Besslove funkcije imajo koristne lastnosti tudi pri reševanju nekaterih drugih problemov uporabne matematike.

[uredi] Besslove funkcije $J ν$ in $Y ν$

Graf Besslove funkcije prve vrste za red ν = 0,1,2.

Besslova funkcija prve vrste reda $ν$ se izračuna kot: $J_{\nu }=\sum_{m=0}^{\infty }\frac{\left( -1\right) ^{m}x^{2m+\nu }}{2^{2m+\nu }m!\Gamma \left( m+\nu +1\right)}$

Če $ν$ ni celo število, funkciji $J_{\nu }\left( x\right)$ in $J_{-\nu }\left( x\right)$ nista linearno odvisni, zato ima v tem primeru splošna rešitev Besslove diferencialne enačbe obliko: