Función zeta local
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En la teoría de números, una función zeta local es una función generatriz
- Z(t) para el número de soluciones de un conjunto de ecuaciones definidas sobre un campo finito F, en extensión de campos Fk de F.
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[editar] Formulación
La analogía con la función zeta de Riemann
- ζ(s)
se establece a través de la derivada logarítmica
- ζ'(s) / ζ(s).
Dado un F, existe, en un isomorfismo, sólo un campo Fk con
- [Fk:F] = k,
para k = 1,2, ... . Dado un conjunto de ecuaciones de polinomios — o una variedad algebraica V — definida sobre F, podemos contar el número
- Nk
de soluciones en Fk; y crear la función generatriz
- G(t) = N1.t + N2.t2/2 + ... .
La definición correcta de Z(t) es tomar el log Z igual a G, y por lo tanto
- Z = exp(G);
tendremos que Z(0) = 1 dado que G(0) = 0, y Z(t) es a priori una serie de potencia formal.
[editar] Ejemplos
Por ejemplo, asumiendo que todos los Nk son 1; esto ocurre por ejemplo si se comienza con una ecuación del tipo X = 0, de forma que geométricamente estamos tomando V en un punto. Entonces
- G(t) = −log(1 − t)
es la expansión de un logaritmo (para |t| < 1). En este caso se tiene que
- Z(t) = 1/(1 − t).
Otro caso más interesante es, si V es la línea de proyección sobre F. Si F tiene una cantidad q de elementos, entonces ésta tiene q + 1 puntos, incluyendo como corresponde el punto en el infinito. Por lo tanto tendremos
- Nk = qk + 1
y
- G(t) = −log(1 − t) − log(1 − qt),
para un |t| suficientemente pequeño.
En este caso tenemos
- Z(t) = 1/{(1 − t)(1 − qt)}.
[editar] Motivaciones
La relación entre las definiciones de G y Z puede ser explicada de diversas formas. En la práctica hace de Z una función racional de t, algo que resulta interesante aún en el caso en que V sea una curva elíptica sobre un campo finito.
Son las funciones Z que son diseñadas para multiplicar, para obtener funciones globales zeta. Esto comprende diferentes campos finitos (por ejemplo la familia completa de campos Z/p.Z con p un número primo. En esta relación, la variable t es substituída por p-s, donde s es la variable compleja tradicionalmente usada en las series de Dirichlet. (Para mayores detalles ver función zeta de Hasse-Weil). Esto explica también por qué se utiliza la derivada logarítmica con respecto de s.
Con estos antecedentes, los productos de Z en los dos casos resultan ser ζ(s) y ζ(s)ζ(s − 1).
[editar] Hipótesis de Riemann para curvas sobre campos finitos
Para curvas proyectivas C sobre F que no son singulares, se puede demostrar que
- Z(t) = P(t)/{(1 − t)(1 − qt)},
con P(t) un polinomio, de grado 2g donde g es el genus de C. La hipótesis de Riemann para curvas sobre campos finitos establece que las raíces de P tienen valor absoluto
- q−1/2,
donde q = |F|.
Por ejemplo, para el caso de una curva elíptica hay dos raíces, y es fácil demostrar que el producto de las mismas es q−1. El teorema de Hasse indica que ellas poseen el mismo valor absoluto; y esto a su vez tiene consecuencias inmendiatas en el número de puntos.
Weil demostró esto para el caso general, alerededor de 1940 (Comptes Rendus note, abril 1940): y dedicó mucho tiempo en los años posteriores, escribiendo la geometría algebraica asociada). Esto lo condujo a proponer las conjeturas generales de Weil, finalmente demostradas una generación despues. Véase étale cohomology para las fórmulas básicas de la teoría general.
