Función zeta de Riemann
De Wikipedia, la enciclopedia libre
La función zeta de Riemann nombrada en honor a Bernhard Riemann, es una función que tiene una importancia significativa en la teoría de números, por su relación con la distribución de los números primos. También tiene aplicaciones en otras áreas tales como la física, la teoría de probabilidades y estadística aplicada.
[editar] Definicion
La función zeta de Riemann ζ(s) está definida, para todo número complejo s con parte real > 1 por la serie de Dirichlet:
En la región {s ∈ C | Re(s) > 1}, esta serie infinita converge y define una función que es analítica en esta región. Riemann observó que la función zeta puede extenderse, por continuación analítica, de manera única a una función meromorfa a todos el plano complejo salvo en s = 1. Esta es la función que se considera en la hipótesis de Riemann.
[editar] Relación con los números primos
La conexión entre esta función y los números primos ya había sido divisada por Leonhard Euler:
un producto inifinito sobre todos los números primos . Esta expresión, llamada el producto de Euler, converge para los números complejos Re(s) > 1. Esta fórmula es consecuencia de dos resultados simples pero fundamentales en Matemática: la fórmula para las series geométricas y el teorema fundamental de la aritmética.
[editar] Propiedades básicas
- Algunos valores exactos
Euler fue capaz de encontrar una fórmula cerrada para ζ(2k) cuando k es un entero positivo:
donde B2k son los números de Bernoulli. De esta fórmula se obtiene que: ζ(2) = π²/6, ζ(4) = π4/90, ζ(6) = π6/945 etc. Para números impares no se conoce una solución general.
Ramanujan realizó un gran trabajo sobre esta función.
