Orden total
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En matemáticas, un orden total u orden lineal en un conjunto X es una relación binaria que es reflexiva, antisimétrica, transitiva, y total. Esto significa que, si denotamos la relación por ≤, vale para todo a, b y c en X
- a ≤ a (reflexividad)
- si a ≤ b y b ≤ a entonces a = b (antisimetría)
- si a ≤ b y b ≤ c entonces a ≤ c (transitividad)
- a ≤ b o b ≤ a (totalidad)
Un conjunto con una orden total en él se llama un conjunto totalmente ordenado, o un conjunto linealmente ordenado.
Porque una relación binaria que es reflexiva, antisimétrica y transitiva se llama un orden parcial, un orden total se puede también definir como orden parcial que sea total. Alternativamente, uno puede definir un conjunto totalmente ordenado como una clase particular de reticulado, a saber uno en el cual tenemos {a 
b, a 
b} = {a, b} para todo a, b. Entonces escribimos a ≤ b si y solamente si a b = b.
Si a y b son miembros de un conjunto totalmente ordenado, podemos escribir a < b si a ≤ b y a ≠ b. La relación binaria < es entonces transitiva (a < b y b < c implica a < c) y tricotomía (una y solamente una de a < b, b < a o a = b es verdad). De hecho, podemos definir un orden total como una relación binaria tricotómica, transitiva <, y entonces definimos a ≤ b como a < b o a = b, y esta definición se puede demostrar como equivalente a la que se dio al principio de este artículo.
Para cualquier conjunto totalmente ordenado X podemos definir los intervalos abiertos (a, b) = { x : a < x y x < b}, (- ∞, b) = {x: x < b}, (a, ∞) = {x: a < x} y (- ∞, ∞) = X. El conjunto totalmente ordenado X se vuelve un espacio topológico si definimos un subconjunto como abierto si y solamente si es una unión (posiblemente infinitamente muchos) de tales intervalos abiertos. Esto se llama la topología del orden en X; es siempre un T5. A menos que esté establecido de otra manera, se entiende que esta topología se está utilizando en un conjunto totalmente ordenado.
[editar] Ejemplos
Lo siguiente es válido salvo un isomorfismo de orden: El conjunto de los números naturales son el conjunto totalmente ordenado más pequeño sin límite superior. Semejantemente, el conjunto totalmente ordenado más pequeño sin ínfimo ni súpremo son los enteros. El conjunto totalmente ordenado y acotado más pequeño que también sucede ser denso en el sentido que (a, b) es no vacío para cada a < b, son los números racionales.
Observe que son posibles subconjuntos, que en un sentido son más pequeños, pero que son orden isomorfos y por lo tanto que no cuentan como más pequeños. Por ejemplo, en vez de números y de números enteros naturales podemos tomar los pares, y en vez de todos los números racionales podemos tomar aquellos con una expansión decimal finita.
Cualesquiera conjunto de números cardinales o números ordinales son totalmente ordenados (de hecho, incluso bien ordenados).
