Линейно упорядоченное множество
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Линейно упорядоченное множество или цепь ― частично упорядоченное множество, в котором для любых двух элементов a и b имеет место 
или 
.
Важнейший частный случай линейно упорядоченных множество ― вполне упорядоченные множества.
[править] Связанные определения
Сечением линейно упорядоченного множества P называется разбиение его на два подмножества A и B так, что 
, 
и для любых 
и 
, Классы A и B называются соответственно нижним и верхним классами сечения.
Различаются следующие типы сечений:
- скачок ― в нижнем классе имеется наибольший элемент, а в верхнем ― наименьший;
- дедекиндово сечение ― в нижнем (верхнем) классе имеется наибольший (наименьший) элемент, но в верхнем (нижнем) классе нет наименьшего (наибольшего);
- щель ― в нижнем классе нет наибольшего элемента, а в верхнем ― наименьшего.
Линейно упорядоченное множество называется непрерывным, если все его сечения дедекиндовы.
Подмножество D линейно упорядоченного множества P называется плотным, если каждый неодноэлементный интервал множества P содержит элементы, принадлежащие D.
[править] Свойства
- Подмножество линейно упорядоченного множества само является линейно упорядоченным.
- Всякий максимальный (минимальный) элемент линейно упорядоченного множества оказывается наибольшим (наименьшим).
- Линейно упорядоченное множество вещественных чисел может быть охарактеризовано как непрерывное линейно упорядоченное множество в котором нет ни наибольшего, ни наименьшего элементов, но содержится счётное плотное подмножество.
- Всякое счётное линейно упорядоченное множество изоморфно некоторому подмножеству линейно упорядоченному множеству всех двоичных дробей отрезка [0,1].
- Решётка L изоморфна подмножеству линейно упорядоченного множества целых чисел тогда и только тогда, когда каждая ее подрешетка является ретрактом.
