Conjunto parcialmente ordenado
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En matemáticas, un orden parcial, conjunto parcialmente ordenado, o poset, en inglés y para abreviar, es una relación binaria especial que formaliza el concepto intuitivo de ordenar. Los conjuntos parcialmente ordenados se estudian en la teoría del orden y una introducción mucho más detallada al campo se puede encontrar dentro del artículo correspondiente.
[editar] Definición formal
Considere algún conjunto P y una relación binaria ≤ en P. Entonces ≤ es un orden parcial si es reflexiva, antisimétrica, y transitiva, es decir, para todo a, b y c en P, tenemos que:
- a ≤ a (reflexividad);
- si a ≤ b y b ≤ a, entonces a = b, (antisimetría);
- si a ≤ b y b ≤ c, entonces a ≤ c (transitividad).
Un conjunto con un orden parcial se llama conjunto parcialmente ordenado, o, en breve, poset.
Dada una relación binaria R que sea un orden parcial sobre un conjunto P; si se cumple que x, y ∈ P y x ≤ y o y ≤ x se dice que x e y son comparables. Si cada par de elementos en P son comparables se dice que R es un orden total.
El término conjunto ordenado a veces también se utiliza para los posets, mientras esté claro en el contexto que no se quiere significar ninguna otra clase de órdenes. En particular, los conjuntos totalmente ordenados pueden también ser llamados conjuntos ordenados, especialmente en áreas donde son más comunes estas estructuras que los posets. Sin embargo, la mayoría de los artículos no deben causar confusión mientras todas las definiciones formales empleen terminología exacta.
[editar] Los órdenes parciales estrictos y los débiles
En algunos contextos, el orden parcial definido arriba se llama orden parcial débil (o reflexivo). En estos contextos un orden parcial estricto (también llamado quasiorden o irreflexivo) es una relación binaria que es irreflexiva y transitiva, y por lo tanto asimétrica. Es decir para todos a, b, y c en P, tenemos que:
- ¬(aRa) (irreflexividad);
- si aRb entonces ¬(bRa) (asimetría); y
- si aRb y bRc entonces aRc (transitividad).
Si R es una orden parcial débil, entonces R− {(a, a)|a en P} es el orden parcial estricto correspondiente.
Semejantemente, cada orden parcial estricto tiene un orden parcial débil correspondiente, y así que las dos definiciones son esencialmente equivalentes.
Un libro que les puede ayudar a encontrar definiciones acerca de estos términos y en el cual encontramos muchas herramientas para el desarrollo de estos temas es A Logical Approach To Discrete Math del autor Gries & Schneider.
Véase también:
