Partícula en una caja

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En física, la partícula en una caja (también conocida como pozo de potencial infinito) es un problema muy simple que consiste de una sola partícula que rebota dentro de una caja inmóvil de la cual no puede escapar, y donde no pierde energía al colisionar contra sus paredes. En mecánica clásica, la solución al problema es trivial: la partícula se mueve en una línea recta a una velocidad constante hasta que rebota en una de las paredes. Al rebotar, cambia la velocidad cambia de sentido cambiando de signo la componente paralela a la dirección perpendicular a la pared y manteniéndose la velocidad paralela a la pared, sin embargo, no hay cambio en el módulo de la misma velocidad.

[editar] Descripción cuántica del problema

El problema cambia cuando se intenta resolver dentro de la mecánica cuántica, ya que varios conceptos de esta disciplina deben introducirse para encontrar una solución. Sin embargo, aun así es un problema simple con una solución definida. Este artículo se concentra en la solución dentro de la mecánica cuántica.

El problema puede ser expresado en cualquier número de dimensiones, pero la más simple es la unidimensional, mientras que la más útil es la que se centra en una caja tridimensional. En una dimensión, se representa por una partícula que existe en un segmento con forma de línea, con las paredes siendo los puntos finales del segmento.

En términos de la física, la partícula en una caja es definida como una partícula de un solo punto, encerrado en una caja donde no experimenta ningún tipo de fuerza (es decir, posee energía potencial cero). En las paredes de la caja, el potencial aumenta hasta un valor infinito, haciéndola impenetrable. Usando esta descripción en terminos de potenciales nos permite usar la ecuación de Schrödinger para determinar una solución.

Como se menciona más arriba, si estuviéramos estudiando el problema bajo las reglas de la mecánica clásica, deberíamos aplicar las leyes del movimiento de Newton a las condiciones iniciales, y el resultado sería razonable e intuitivo. En mecánica cuántica, cuando se aplica la ecuación de Schrödinger, los resultados no son intuitivos. En primer lugar, la partícula sólo puede tener ciertos niveles de energía específicos, y el nivel cero no es uno de ellos. En segundo lugar, las probabilidades de detectar la partícula dentro de la caja en cada nivel específico de energía no son uniformes - existen varias posiciones dentro de la caja donde la partícula puede ser encontrada, pero también hay posiciones donde es imposible hacerlo. Ambos resultados difieren de la manera usual en la que percibimos al mundo, incluso si están fundamentados por principios extensivamente verificados a través de experimentos.

[editar] Caja ortoédrica

En esta sección consideraremos que el volumen encerrado por la caja en la que se mueve la partícula es un ortoedro de lados L_x, L_y y L_z, la elección de esa forma simplifica el problema concreto que podemos usar fácilmente las coordenadas cartesianas para resolver el problema. Los estados estacionarios de este sistema físico consistente en una partícula material atrapada en una caja son aquellos que satisfacen la ecuación de Schrödinger con las siguientes condiciones:

$-\frac{\hbar^2}{2m} \Delta \Psi(x,y,z) = E\Psi(x,y,z) \qquad (1)$

$\Psi(0,y,z) = \Psi(L_x,y,z) = 0 \qquad \Psi(x,0,z) = \Psi(x,L_y,z) = 0 \qquad \Psi(x,y,0) = \Psi(x,y,L_z) = 0$

La función de onda fuera de la caja es cero expresando el hecho de que la probabilidad de encontrar la partícula fuera de una caja de la que la partícula no puede escapar es cero. Las soluciones de la ecuación (1) pueden encontrarse por el método de separación de variables y son de la forma:

$\Psi(x,y,z) = \sqrt{\frac{8}{L_xL_yL_z}} sin(\frac{n_x\pi x}{L_x})sin(\frac{n_y\pi y}{L_y})sin(\frac{n_z\pi z}{L_z})$

Donde $n x, n y, n z$ son números enteros, que llamaremos números cuánticos. Los valores posibles de la energía están cuantizados y vienen dados por:

$E_{n_x, n_y, n_z} = \frac{h^2}{2m} \left( \frac{n_x^2}{L_x^2} + \frac{n_y^2}{L_y^2} + \frac{n_z^2}{L_z^2}\right)$

[editar] Cavidad esférica

La forma funcional de los estados estacionarios y los valores de la energía cambian si se cambia la forma de la caja. En esta sección consideraremos una cavidad esférica de radio R y resolveremos el mismo problema empleando coordenadas esféricas que facilitan muchísimo la resolución de la ecuación de Schrödinger del problema:

$-\frac{\hbar^2}{2m} \Delta \Psi(r,\varphi,\theta) = E\Psi(r,\varphi,\theta) \qquad (2)$

$\Psi(R,\varphi,\theta) = 0$

Usando las propiedades del operador laplaciano y la separación de variables para las coordenada radial y las coordenadas angulares, que las soluciones de la ecuación (2) pueden escribirse como el producto de una función de la coordenada radial por un armónico esférico del siguiente modo:

$\Psi(r,\varphi,\theta) = R_{nl}(r)Y_{lm}(\varphi,\theta)$

Substituyendo esta forma funciona en la ecuación (2) se tiene que para que la función anterior sea solución debe cumplirse que la función radial satisfaga:

$-\Delta R_{nl}(r) = -\left( \frac{d^2R_{nl}(r)}{dr^2} + \frac{2}{r} \frac{dR_{nl}(r)}{dr} - \frac{l(l+1)}{r^2} R_{nl}(r) \right) = \frac{2mE}{\hbar^2}R_{nl}(r)$

Las soluciones de la ecuación anterior, vienen dadas por las funciones de Bessel y son:

$R_{nl}(r) = A \frac{J_{l+\frac{1}{2}}(\epsilon_{nl} r)}{\sqrt{r}} \qquad \epsilon_{nl} = \sqrt{\frac{2mE_{nl}}{\hbar^2}}$

Donde los posbles valores de la energía E_nl son tales que hacen que la función de onda se anule sobre las paredes de la caja o cavidad esférica, es decir, cuando r = R y pueden obtenerse a partir de los ceros de la (l+1/2)-ésima función de Bessel:

$J_{l+\frac{1}{2}}\left(R\sqrt{\frac{2mE_{nl}}{\hbar^2}}\right) = 0$