Serie de Dirichlet

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En matemáticas, una serie de Dirichlet es toda serie del tipo

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s},$

donde s y a_n, n = 1, 2, 3, ... son números complejos.

Las series de Dirichlet juegan un número importante de roles en la teoría analítica de números. La definición más popularizada de la función zeta de Riemann es una serie Dirichlet, tal como son las funciones L de Dirichlet. Se conjetura que las series de clase tipo Selberg satisfacen la hipotesis generalizada de Riemann. La serie ha sido nombrada en honor a Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet.

Tabla de contenidos

1 Ejemplos
2 Propiedades analiticas de la serie de Dirichlet: la abscisa de convergencia
3 Derivadas
4 Productos
5 Transformadas integrales
6 Véase también
7 Referencias

[editar] Ejemplos

La serie de Dirichlet más famosa es

$\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s},$

que es la función zeta de Riemann. Otra serie de Dirichlet es:

$\frac{1}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n^s}$

donde μ(n) es la función de Möbius. Es posible obtener esta y varias de las series indicadas a continuación realizando una inversión de Möbius y una convolución de Dirichlet a series conocidas. Por ejemplo, dado un caracter de Dirichlet $χ(n)$ se tiene que

$\frac{1}{L(\chi,s)}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)\chi(n)}{n^s}$

donde $L (χ, s)$ es una funcion L de Dirichlet.

Otras identidades incluyen

$\frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\varphi(n)}{n^s}$

donde φ(n) es la totient function, and

$\zeta(s) \zeta(s-a)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sigma_{a}(n)}{n^s}$

$\frac{\zeta(s)\zeta(s-a)\zeta(s-b)\zeta(s-a-b)}{\zeta(2s-a-b)} =\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sigma_a(n)\sigma_b(n)}{n^s}$

donde σ_a(n) es la función divisor. Otras identidades que involucran a la función divisor d=σ₀ son

$\frac{\zeta^3(s)}{\zeta(2s)}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{d(n^2)}{n^s}$

$\frac{\zeta^4(s)}{\zeta(2s)}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{d(n)^2}{n^s}$

El logaritmo de la función zeta esta dado por

$\log \zeta(s)=\sum_{n=2}^\infty \frac{\Lambda(n)}{\log(n)}\,\frac{1}{n^s}$

para $\Re(s) > 1$ . Aqui, $Λ(n)$ es la función de von Mangoldt. La derivada logarítmica es por lo tanto

$\frac {\zeta^\prime(s)}{\zeta(s)} = -\sum_{n=1}^\infty \frac{\Lambda(n)}{n^s}$

Estos últimos dos son casos especiales de una relación mas generalizada para las derivadas de la serie de Dirichlet, indicadas a continuación.

Dada la función de Liouville $λ(n)$ , se tiene que

$\frac {\zeta(2s)}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\lambda(n)}{n^s}$

Otro ejemplo, en cambio se relaciona con la suma de Ramanujan:

$\frac{\sigma_{1-s}(m)}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{c_n(m)}{n^s}$

[editar] Propiedades analiticas de la serie de Dirichlet: la abscisa de convergencia

[editar] Derivadas

Dado

$F(s) =\sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)}{n^s}$

para una función totalmente multiplicativa $f (n)$ , y asumiendo que la serie converge para $\Re(s) > \sigma_0$ , entonces se tiene que

$\frac {F^\prime(s)}{F(s)} = - \sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)\Lambda(n)}{n^s}$

converge para $\Re(s) > \sigma_0$ . Siendo, $Λ(n)$ la función de von Mangoldt.

[editar] Productos

Sea $F(s)= \sum_{n=1}^{\infty} f(n)n^{-s}$ y

$G(s)= \sum_{n=1}^{\infty} g(n)n^{-s}$

Si tanto F(s) y G(s) son absolutamente convergentes para s> a y s > b entonces se tiene que:

$\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}dtF(a+it)G(b-it)dt= \sum_{n=1}^{\infty} f(n)g(n)n^{-a-b}$ dado que $T \sim \infty$

para a=b y f(n)=g(n) se obtiene:

$\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}dt|F(a+it)|^{2} dt= \sum_{n=1}^{\infty} [f(n)]^{2}n^{-2a}$ as $T \sim \infty$

[editar] Transformadas integrales

The Mellin transform of a Dirichlet series is given by Perron's formula.

[editar] Véase también

Zeta function regularization

[editar] Referencias

^ Tom Apostol, Introduction to analytic number theory, Springer-Verlag, New York, 1976.
G. H. Hardy, and Marcel Riesz, The general theory of Dirichlet's series, Cambridge Tracts in Mathematics, No. 18 (Cambridge University Press, 1915).
The general theory of Dirichlet's series by G. H. Hardy. Cornell University Library Historical Math Monographs. {Reprinted by} Cornell University Library Digital Collections