Teoría cuántica de campos

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La teoría cuántica de campos (QFT por Quantum Field Theory) es una teoría que aplica las reglas cuánticas a los campos continuos de la Física, como por ejemplo el campo electromagnético, así como a las interacciones entre estos y el resto de la materia. Proporciona así un marco teórico usado extensamente en física de partículas y física de la materia condensada. En particular, la teoría cuántica del campo electromagnético, conocida como electrodinámica cuántica, fue el primer ejemplo de teoría cuántica de campos que se estudió y es la teoría probada experimentalmente con mayor precisión de la física. Los fundamentos de la teoría de campos cuántica fueron desarrollados entre el fin de los años 20 y los años 50, notablemente por Dirac, Fock, Pauli, Tomonaga, Schwinger, Feynman, y Dyson.

[editar] los defectos de la mecánica cuántica

La teoría de campos cuántica corrige varias deficiencias de la mecánica ordinaria cuántica, la que discutiremos brevemente.

La ecuación de Schrödinger, en la forma en que comúnmente se la encuentra, es:

$\left[ - \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(\mathbf{r}) \right] \Psi(\mathbf{r}, t) = i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} (\mathbf{r}, t)$

donde Ψ es la función de onda de una partícula, m su masa, y V su energía potencial.

Hay dos problemas con esta ecuación. En primer lugar, no es relativista, reduciéndose a la mecánica clásica más bien que a la mecánica relativista en el límite de la correspondencia.

Para ver esto, observemos que el primer término de la izquierda es solamente la energía cinética clásica p²/2m, con la energía en reposo mc² omitida. Es posible modificar la ecuación de Schrödinger para incluir la energía en reposo, dando por resultado la ecuación de Klein-Gordon o la ecuación de Dirac. Sin embargo, estas ecuaciones tienen muchas propiedades insatisfactorias; por ejemplo, poseen espectros de energía que se extienden a -∞, de modo que no hay ningún estado de base. Tales inconsistencias ocurren porque estas ecuaciones descuidan la posibilidad de crear o de destruir partículas dinámicamente, que es un aspecto crucial de la relatividad. La relación masa-energía famosa de Einstein predice que las partículas suficientemente masivas pueden decaer en varias partículas más ligeras, y las partículas suficientemente energéticas pueden combinarse para formar partículas masivas. Por ejemplo, un electrón y un positrón pueden aniquilarse para crear fotones. Tales procesos deben considerarse dentro de una teoría cuántica verdaderamente relativista.

El segundo problema ocurre cuando intentamos ampliar la ecuación a una gran cantidad de partículas. Se descubrió que las partículas mecánico-cuánticas de la misma especie son indistinguibles, en el sentido que la función de onda del conjunto entero debe ser simétrico (bosones) o antisimétrico (fermiones) cuando los coordenadas de sus partículas constitutivas se intercambian. Esto hace a la función de onda de los conjuntos de muchas partículas, en extremo complicada. Por ejemplo, la función de onda general de un conjunto de N bosones se escribe:

$\Phi(r_1, ..., r_N) = \frac{1}{\sqrt{N!}} \sum_{p} \phi_{p(1)} (r_1) \cdots \phi_{p(N)} (r_N)$

donde r_i son las coordenadas de la partícula -í-ésima, φ_i es la función de ondas de cada partícula, y la suma se toma sobre todas las posibles permutaciones de N elementos. En general, ésta es una suma de N! (N factorial) términos distintos, que llega a ser rápidamente inmanejable con el incremento de N.

[editar] Campos cuánticos

Ambos problemas antedichos se resuelven moviendo nuestra atención desde un conjunto de partículas indestructibles a un campo cuántico. El procedimiento por el cual los campos cuánticos son construidos a partir de partículas individuales fue introducido por Dirac, y (por razones históricas) se conoce como segunda cuantización.

Debemos mencionar dos puntos posibles de confusión. En primer lugar, las descripciones ya mencionadas del "campo" y de la "partícula" no se refieren a la dualidad onda-partícula. Por "partícula", referimos a las entidades que poseen propiedades de onda y de partícula puntual en el sentido mecánico-cuántico usual, por ejemplo, estas "partículas" no se localizan en un punto dado, sino que tienen cierta (amplitud de) probabilidad de ser encontradas en cada posición en el espacio. A lo que nos referimos con "campo" es a una entidad que existe en cada punto en el espacio, y que regula la creación y la aniquilación de las partículas. En segundo lugar, la teoría del campo cuántica es esencialmente mecánica cuántica, y no un reemplazo para la mecánica cuántica. Como cualquier sistema cuántico, un campo cuántico posee un hamiltoniano H (no obstante uno que es más complicado que hamiltonianos típicos de partículas simples), y obedece la ecuación de Schrödinger usual:

$H \left| \psi (t) \right\rangle = i \hbar {\partial\over\partial t} \left| \psi (t) \right\rangle$

(la teoría del campo cuántica se formula a menudo en términos de un lagrangiano, con el que es más conveniente trabajar. Sin embargo, las formulaciones lagrangianas y hamiltonianas se cree que son equivalentes.)

En segunda cuantización, hacemos uso de la indistinguibilidad de las partículas para funciones de ondas de multi-partículas especificándolas en términos de números de ocupación por partículas simples. Por ejemplo, suponga que tenemos un sistema de N bosones que pueden ocupar varios estados de partícula simple φ₁, de φ₂, de φ₃, etcétera. El método usual de escribir una función de onda multi-partícula es asignar un estado a cada partícula y después imponer simetría de intercambio. Como hemos visto, la función de onda que resulta es una suma poco manejable de N! términos. En el acercamiento por segunda cuantización, listamos simplemente el número de partículas en cada uno de los estados de partícula simple, recordando que la función de onda multi-partícula es simétrica. Para ser precisos, suponga que N = 3, con una partícula en estado φ₁ y dos en estado φ₂. La manera normal de escribir la función de onda es:

$\frac{1}{\sqrt{3!}} \left[ \phi_1(r_1) \phi_2(r_2) \phi_2(r_3) + \phi_2(r_1) \phi_1(r_2) \phi_2(r_3) + \phi_2(r_1) \phi_2(r_2) \phi_1(r_3) \right]$

mientras que en la forma de expresión de segunda cuantización es simplemente

$|1, 2, 0, 0, \cdots \rangle$

Aunque la diferencia es enteramente notacional, la última forma hace extremadamente fácil definir los operadores de creación y aniquilación, que agregan y restan partículas de los estados de la multi-partícula. Estos operadores de creación y de aniquilación son muy similares a los definidos para el oscilador armónico cuántico, que agrega y resta cuantos de energía. Sin embargo, estos operadores, literalmente, crean y aniquilan partículas con un estado cuántico dado. Por ejemplo, el operador de aniquilación a₂ tiene los efectos siguientes:

$a_2 | 1, 2, 0, 0, \cdots \rangle \equiv | 1, 1, 0, 0, \cdots \rangle \sqrt{2}$

$a_2 | 1, 1, 0, 0, \cdots \rangle \equiv | 1, 0, 0, 0, \cdots \rangle$

$a_2 | 1, 0, 0, 0, \cdots \rangle \equiv \quad 0$

(el factor √2 en la primera línea normaliza la función de onda, y no es importante.)

Finalmente, introducimos operadores de campo que definen la probabilidad de crear o de destruir una partícula en un punto particular en el espacio. Resulta que la función de onda de la partícula simple está enumerado generalmente en términos de su momento (como en el problema de una partícula en una caja), así que los operadores del campo pueden ser construidos aplicándose transformación de Fourier a los operadores de creación y de aniquilación. Por ejemplo, el operador de aniquilación del campo bosónico φ(r) (que no debe ser confundido con la función de onda) es

$\phi(\mathbf{r}) \equiv \sum_{i} e^{i\mathbf{k}_i\cdot \mathbf{r}} a_{i}$

En las teorías cuánticas de campos, el hamiltoniano se escribe en términos de los operadores de creación y de aniquilación o, equivalentemente, de los operadores del campo. La práctica anterior es más común en la física de la materia condensada, mientras que el último es más común en la física de partículas puesto que hace más fácil ocuparse de relatividad. Un ejemplo de un hamiltoniano escrito en términos de los operadores de creación y de aniquilación es:

$H = \sum_k E_k \, a^\dagger_k \,a_k$

esto describe un campo de bosones (que no interactúan) libres, donde E_k es la energía cinética del k-ésimo modo del momento. De hecho, este hamiltoniano es útil para describir fonones que no interactúan.

[editar] Axiomas de Osterwalder-Schrader

Bajo ciertas asunciones técnicas, se ha demostrado que una teoría cuántica de campos euclidiana puede ser Wick-rotada en una QFT de Wightman. Vea Osterwalder-Schrader.