Gaussin laki sähkökentille

Wikipedia

Gaussin laki sähkökentille antaa suljetun pinnan läpi virtaavan sähkövuon $Φ$ ja pinnan sisäänsä sulkeman sähkövarauksen välisen relaation, ja on yksi Maxwellin yhtälöistä. Sen integraalimuoto on:

$\Phi = \oint_A \mathbf{D} \cdot d\mathbf{A} = Q_A$

jossa $\mathbf{D}$ on sähkövuon tiheys (yksikkönä C/m²), $d\mathbf{A}$ on pinnan differentiaalisen neliön pinta-ala siten, että ulospäin suuntautuva normaalivektori määrää sen suunnan, $Q A$ on pinnan sisäänsä sulkema varaus ja $\oint_A$ on pintaintegraali pinnan A yli.

Gaussin divergenssilauseen mukaan vektorikentän pintaintegraali suljetun pinnan A yli (eli kentän vuo) saadaan integroimalla divergenssiä pinnan sisäänsä sulkeman tilavuuden V yli, eli

$\oint_A \mathbf{D} \cdot d\mathbf{A} = \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{D} \ dV$ .

Pinnan sisäänsä sulkeman sähkövarauksen suuruus saadaan toisaalta integroimalla sähkövaraustiheyttä ρ (yksikkönä C/m³) saman tilavuuden yli, joten Gaussin laki saadaan muotoon

$\iiint_V \nabla \cdot \mathbf{D} \ dV = \iiint_V \rho \ dV$ .

Koska tämä pätee kaikille suljetuille pinnoille, saadaan

$\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho$ ,

jota kutsutaan lain differentiaalimuodoksi.

[muokkaa] Yhteys Coulombin lakiin

Coulombin laki seuraa Gaussin laista melko suoraan. Pistemäisen varauksen, jonka suuruus on $q 1$ , aiheuttama sähkövuo r-säteisen pallopinnan yli on

$\Phi_E = 4 \pi r^2 |\mathbf{D}|$ .

Gaussin lain mukaan vuon suuruus on toisaalta $Φ E = q 1$ , ja koska isotrooppisissa aineissa $\mathbf{D} = \varepsilon \mathbf{E}$ , saadaan pistevarauksen aiheuttaman sähkökentän E suuruudeksi