Maxwellin yhtälöt

Wikipedia

Maxwellin yhtälöt ovat neljän yhtälön kokoelma, joka kuvaa sähköisten ja magneettisten kenttien käyttäytymistä ja niiden vuorovaikutusta. Yhtälöt on nimetty James Clerk Maxwellin mukaan. Yhdessä väliainerelaatioiden ja Lorentzin voiman kanssa Maxwellin yhtälöt mallintavat koko sähkömagneettisen luonnonilmiön makroskooppisessa mittakaavassa.

Maxwellin yhtälöt kuvaavat miten sähkövaraus tuottaa sähkökentän (Gaussin laki), kuinka magneettisia monopoleja ei ole olemassa/löydetty kokeellisesti (Gaussin laki magneettikentille), miten muuttuva magneettikenttä tuottaa sähkökentän (Faradayn induktiolaki) ja miten sähkövirta ja muuttuva sähkökenttä tuottavat magneettikentän (Ampèren laki + Maxwellin lisäys). Maxwell kuvasi nämä ilmiöt vuonna 1861 ilmestyneessä artikkelissa On Physical Lines of Force useammassa kuin neljässä erillisessä yhtälössä jotka Oliver Heaviside vuonna 1884 kokosi näiksi neljäksi yhtälöksi käyttäen vektorianalyysin merkintätapaa.

Maxwell näytti kuinka yhtälöt ennustivat vaihtuvien sähkömagneettisten aaltojen etenevän tyhjässä avaruudessa nopeudella, joka näytti olevan sama kuin valon nopeus. Heinrich Hertz näytti 1888 valon olevan sähkömagneettista säteilyä.

Maxwellin yhtälöt ovat siinä mielessä nykyaikaisen yhteiskunnan keskeistä pohjaa, että suuri osa sähkötekniikasta (sähkömoottorit, sähkön tuotanto, sähkön siirto, valokaapelit, radiot, lankapuhelin, tutkat jne.) perustuu Maxwellin yhtälöihin, tosin usein sähkötekniikan sovelluksien mallintamiseen käytetään Maxwellin yhtälöiden kuvaaman sähkömagneettisen mallin eri approksimaatioita, kuten esimerkiksi piiriteoriaa.

Sisällysluettelo

1 Yhtälöt
- 1.1 Differentiaalimuoto
- 1.2 Integraalimuoto
2 Kenttien riippuvuudet väliaineissa
3 Katso myös

[muokkaa] Yhtälöt

[muokkaa] Differentiaalimuoto

Differentiaalimuodossaan Maxwellin yhtälöt kuvaavat kuinka sähkömagneettiset vektorikentät vastaavat toisiaan pisteittäin.

$\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho$

$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$

$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}$

$\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t}$

missä:

D on sähkövuon tiheys,

ρ

on varaustiheys,

B on magneettivuon tiheys,

E on sähkökentän voimakkuus,

H on magneettikentän voimakkuus,

J on virrantiheys.

[muokkaa] Integraalimuoto

Integraalimuodossa Maxwellin yhtälöt kuvaavat miten sähkömagneettiset kentät riippuvat toisistaan kun niitä integroidaan makroskooppisten kappaleiden yli.

$\oint_{\partial V} \mathbf{D}\cdot \mathbf{n} \ da = \int_V \rho \ dV \ \ \ \forall \ V$

$\oint_{\partial V} \mathbf{B}\cdot \mathbf{n} \ da = 0 \ \ \ \forall \ V$

$\oint_{\partial S} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l} = -{\part \over \part t} \int_S \mathbf{B} \cdot \mathbf{n} \ da \ \ \ \forall \ S$

$\oint_{\partial S} \mathbf{H}\cdot d\mathbf{l} = \int_S\mathbf{J}\cdot \mathbf{n} \ da + {\part \over \part t} \int_S \mathbf{D} \cdot \mathbf{n} \ da \ \ \ \forall \ S$