Static Wikipedia February 2008 (no images)

aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - en - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu

Web Analytics
Cookie Policy Terms and Conditions Lorentz-muunnos – Wikipedia

Lorentz-muunnos

Wikipedia

Lorentz-muunnoksella (tai Lorentzin muunnoksella) tarkoitetaan koordinaattijärjestelmän muunnosta, jonka Hendrik Antoon Lorentz ensimmäisenä johti sähkökentässä liikkuvalle varaukselle. Myöhemmin Albert Einstein muotoili erityisen suhteellisuusteorian, ja korvasi siinä klassisen mekaniikan Galilein muunnoksen Lorentz-muunnoksella.

Kuva:Koordinaatistot.PNG

Kuvitellaan, että järjestelmä (havaitsija) P' liikkuu järjestelmästä P katsottuna positiivisen x-akselin suuntaan nopeudella v. Merkitään valonnopeutta kirjaimella c, aikaa kirjaimella t, ja paikkaa suorakulmaisilla koordinaateilla x,y ja z. Tällöin Lorentzin muunnoksen yhtälöt ovat:

x'=\frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}

y' = y

z' = z

t'=\frac{t-\frac{v}{c^2}x}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}

Lorentzin muunnoksessa aika ei ole absoluuttinen suure. Kun järjestelmässä P kuluu t sekuntia, järjestelmässä P' on kulunut viimeisen yhtälön mukainen aika. Esimerkiksi jos järjestelmä P' liikkuu P:n suhteen nopeudella 1/2c eli noin 150 miljoonaa metriä sekunnissa ja järjestelmät olivat aluksi (hetkellä t=0) päällekkäin, niin kun järjestelmässä P on kulunut yksi sekunti (t=1s), niin (järjestelmästä P katsottuna) järjestelmässä P' on kulunut vain noin 0,87 sekuntia (t'=0,87s). "Käytännössä" tämä tarkoittaa sitä, että kun katsomme esimerkiksi nopeasti kiitävää avaruusalusta, aika näyttää siellä kuluvan hitaammin kuin meidän aikamme. Ilmiö on myös mitattu hyvin tarkoilla atomikelloilla joita on lennätetty lentokoneessa ja satelliiteissä.

Lorentzin muunnosta voi verrata koordinaattijärjestelmän kiertoon. Kun kolmiulotteista euklidisen avaruuden suorakulmaista koordinaattijärjestelmää halutaan kiertää kulman a verran z-akselin ympäri, saadaan yhtälöt:

x' = xcosa + ysina

y' = ycosaxsina

z' = z

Kierrossa uusi x' ja y' ovat vanhojen x ja y koordinaattien "sekoitukset". Myös Lorentzin muunnoksessa aika ja liikkeen suuntainen koordinaatti sekoittuvat toisiinsa. Lorenzin muunnos on tavallaan paikan ja ajan "kierto", joskaan se ei matemaattisesti ole täysin sitä vastaava. Kaikissa tavallisissa suorakulmaisten koordinaattien kierroissa on säilyvä suure, x2 + y2 + z2, joka on pisteen origosta mitatun etäisyyden neliö. Lorentzin muunnoksessakin on eräs säilyvä suure, x2 + y2 + z2c2t2. Tätä suuretta kutsutaan joskus aika-avaruuden etäisyyden neliöksi. Se säilyy samana kaikissa Lorentzin muunnoksissa.

Lorentz-muunnosta voidaan kuvata helposti myös nelivektoreilla

[muokkaa] Lorentz-muunnoksen johtaminen

Lorentz-muunnosten pohjaksi otetaan yleisin mahdollinen lineaarinen muunnos

\,\!x' = Ax + Bt
\,\!t' = Ct + Dx

jossa x ja t ovat objektin paikka ja aika vanhassa koordinaatistossa P, x' ja t' koordinaatit uudessa koordinaatistossa P' ja A, B, C, ja D tuntemattomia vakioita.


1. Ensiksi vaaditaan, että valon nopeus tyhjiössä on vakio c, ja riippumaton koordinaatistossa.

Objektin nopeus koordinaatistossa P on \frac{dx}{dt} ja koordinaatistossa P' \frac{dx'}{dt'}

Jos nopeus \frac{dx}{dt} koordinaatistossa P on c, on sen oltava c myös koordinaatistossa P'

\frac{dx'}{dt'} = c = \frac{d(Ax + Bt)}{d(Ct + Dx)}  = \frac{(Adx + Bdt)}{(Cdt + Ddx)}  = \frac{(A\frac{dx}{dt} + B)}{(C + D\frac{dx}{dt})} = \frac{(Ac + B)}{(C + Dc)}
\,\!B = Dc^2 + (C - A)c

Edellä olevaa yhtälöä kutsutaan jatkossa nimellä yhtälö 1


2. Nopeus on suhteellista


P liikkuu P':n suhteen nopeudella -v
P:n origo on x = 0, joka koordinaatistossa P' on

\,\!x' = x - vt' =  0 - vt' = -vt'
\,\!x'(x=0) = A*0 + Bt = -vt'(x=0) = -vCt
\,\!B = -vC


P':n origo on x' = 0, joka on P:ssä x = vt

\,\!0 = x' = Ax(x' = 0) + Bt = Avt + Bt
\,\!Avt + Bt = 0
\,\!\frac{B}{A} = -v

Näistä yhtälöistä saadaan

\,\!C = A = \frac{-B}{v}

Sijoitetaan yhtälöön 1

\,\! Dc^2 + (A - A)c = B
\,\! D = \frac{B}{C^2}


3. Oletetaan, että hetkellä t = 0 koordinaatistot ovat P:sta katsoen päällekkäin

\,\!x'(t=0) = Ax
x_1' - x_2' \equiv \Delta x'(t=0) \equiv L_0  = A*\Delta x
\Delta x = \frac{L_0}{A}

Hetkellä t' = 0 koordinaatistot ovat päällekkäin P'sta katsottuna

0\,\! = t' = Ct + Dx  = -\frac{B}{v}t + \frac{B}{c^2}x
t = x\frac{v}{c^2}
\,\!x' = Ax + Bt  = Ax - vAt = A(x -vt)  = A(x - x\frac{v^2}{c^2})
\Delta x'= A\Delta x  - \Delta x\frac{v^2}{c^2} = A(1 - \frac{v^2}{c^2})\Delta x \equiv A( 1 - \frac{v^2}{c^2})L_0


Pituuden on näytettävä samalta molemmille koordinaatistoille silloin, kun ne ovat päällekkäin.

\,\!\Delta x = \Delta x'
\frac{L_0}{A} = L_0 A(1- \frac{v^2}{c^2})
A^2 = \frac{1}{(1-\frac{v^2}{c^2})}

Tästä saadaan lopulta muunnokset

\,\!x' = A(x - vt)
\,\!t' = A(t - \frac{v}{c^2}x)
Static Wikipedia 2008 (no images)

aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - en - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu -

Static Wikipedia 2007 (no images)

aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - en - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu -

Static Wikipedia 2006 (no images)

aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu