Transformação de Lorentz

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Em física, a transformação de Lorentz é uma transformação de coordenadas entre um referencial, considerado em repouso, e outro que se move relativamente a ele com uma velocidade uniforme arbitrária. Ela é uma versão relativística da transformação de Galileu.

[editar] Motivação Original

Desde Galileu e Newton se sabia que medidas laboratoriais de processos mecânicos nunca podiam mostrar diferenças entre um equipamento em repouso e um outro que estivesse em movimento com velocidade constante em linha recta: era o chamado princípio da relatividade. Mas nem todas as leis da física eram consideradas universais e independentes do observador: de acordo com a teoria electromagnética de Maxwell (refinada depois por Lorentz e outros) a luz não devia obedecer a este princípio da relatividade e devia mostrar o efeito do movimento. Michelson e Morley fizeram uma experiência, em 1887, em que tentaram detectar a diferença entre a velocidade da luz na direcção do movimento da Terra (afectado pelo vento de éter resultante) com a velocidade da luz numa direcção em ângulo recto com ela. Mas, para sua surpresa, o valor da velocidade da luz não se parecia alterar quando se alterava a velocidade do seu emissor - o que estava em desacordo com os modelos da Física Clássica.

Em 1889, FitzGerald, um irlandês, sugeriu que talvez fosse uma contracção do próprio equipamento experimental, quando atravessava o éter, que fazia com que a mudança na velocidade da luz não fosse detectável, ou seja, sugeriu que os corpos se contraíam quando se moviam a velocidades perto da velocidade da luz. Independentemente, em 1895, o Lorentz, um holandês, sugeriu uma hipótese do mesmo tipo, mas mais detalhada, em que, para assegurar a completa impossibilidade de detecção do éter, acrescentava a hipótese de haver uma mudança no «tempo local» marcado pelos relógios usados na experiência. As transformações de Lorentz, introduzidas por ele em 1904, descrevem esse efeito de diminuição do comprimento, aumento de massa, e dilatação do tempo para objectos que se movem a velocidades perto da velocidade da luz.

O descrédito das teorias do éter acabou por levar à aceitação da proposta de Albert Einstein, de que as transformações de Lorentz não fossem entendidas como transformações de objectos físicos mas sim como transformações do espaço e do tempo em si. Na sua Teoria da Relatividade Restrita, propôs que a razão pela qual não se conseguiam detectar diferentes velocidades da luz era simplesmente porque a velocidade da luz é uma constante universal. E mostrou que isso tornava o princípio da relatividade compatível com a teoria electromagnética.

A necessidade de se modificar as equações da transformação de Galileu foi reconhecida ao se tentar usá-las nas equações de Maxwell. O raciocínio a seguir, atribuído a Einstein, ilustra intuitivamente a inconsistência.

Considere que seja possível a uma pessoa viajar à velocidade da luz. A luz, pelas equações de Maxwell, é uma oscilação dos campos elétricos E e magnéticos B, periódica no espaço e oscilante no tempo. No referencial desta pessoa, a luz seria uma perturbação do campo eletromagnético periódica no espaço e constante no tempo. Tal solução, no entanto, não existe como solução das equações de Maxwell que governam a propagação da Luz.

Portanto resta uma alternativa:

Modificar as equações Maxwell e manter a transformada de Galileu
Ou modificar a transformada de Galileu

Não basta dizer que, já que as equações de Maxwell são confirmadas em laborátório, devemos modificar as transformadas de Galileu. Estas transformadas também são importantes pois são a base de toda a Mecânica Clássica, que portanto deveria ser revista.

Este impasse foi resolvido em 1905 por Albert Einstein. Sua interpretação das Transformadas de Lorentz permitiu manter as equações de Maxwell inalteradas, mas exigiu uma revisão completa dos conceitos de tempo e espaço tão caros e fundamentais à Mecânica Clássica.

[editar] A transformação de Lorentz

Para se chegar as equações da transformação de Lorentz basta analisar como as equações de Maxwell se comportam com relação a uma transformação geral de coordenadas. Mas para simplificar a matemática, utiliza-se no lugar das equações de Maxwell uma de suas soluções, isto é, a equação de onda no vácuo:

$\frac{\partial^2\psi}{\partial^2 x} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2\psi}{\partial^2 t} = 0$

propagando-se na direção x com velocidade c.

Quer-se uma transformação linear de coordenadas x, t para um novo referencial, x', t' que se move com velocidade v:

$x^\prime = \alpha x + \beta t$

$t^\prime = \gamma x + \delta t$

O problema é encontrar $α,β,γ,δ$ de forma a que a equação de onda acima continue sendo uma equação de onda no novo referencial. Substituindo na equação de onda e resolvendo a equação para $(α,β,γ,δ)$ obtém-se:

$\alpha^2 - \frac{\beta^2}{c^2} =1$

$\frac{c^2 \gamma}{\beta} = 1$

$\frac{}{} \alpha = \delta$

Substituindo na transformação linear original:

$x^\prime = \alpha ( x + \frac{\beta}{\alpha} t )$

$t^\prime = \alpha ( \frac{\beta}{c^2\alpha} x - t)$

Comparando com a transformada de Galileu:

$x^\prime = x - v \cdot t$

$t^\prime = t$

encontra-se:

$\frac{\beta}{\alpha} = -v$

$\alpha = \frac{1}{ \sqrt(1 - \frac{v^2}{c^2} ) }$

substituindo na transformação linear inicial, encontra-se a transformada de Lorentz entre dois referenciais em movimento relativo com velocidade v:

$x^\prime = \frac{1}{ \sqrt(1 - \frac{v^2}{c^2} ) } ( x - v \cdot t ) = \gamma ( x - v \cdot t )$

$t^\prime = \frac{1}{ \sqrt(1 - \frac{v^2}{c^2} ) } ( t - \frac{v}{c^2} x) = \gamma ( t - \frac{v}{c^2} x)$

Onde:

$\gamma = \frac{1}{ \sqrt(1 - \frac{v^2}{c^2} ) }$

é chamado de fator de Lorentz.

Uma das conclusões mais espectaculares da transformada de Lorentz é obtida calculando-se a velocidade de grupo de uma perturbação que se propaga neste referencial:

$\frac{dx^\prime}{dt^\prime} = \frac{\alpha dx + \beta dt}{\gamma dx + \delta dt } = c = \frac{dx}{dt}$