Aleph (nombre)

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En mathématiques, un aleph est une élément d'une suite de nombres utilisés pour représenter le cardinal (c'est à dire en quelque sorte la taille) des ensembles infinis. Ils sont nommés d'après le symbole qui les note, א, la lettre aleph de l'alphabet hébreu.

Le cardinal des entiers naturels est aleph-zéro ( $\aleph_0$ ) ; sous certaines conditions, le cardinal suivant est aleph-un ( $\aleph_1$ ), puis $\aleph_2$ , et ainsi de suite. De cette façon, il est possible de définir un nombre cardinal $\aleph_\alpha$ pour tout nombre ordinal α.

Le concept remonte à Georg Cantor, qui a défini la notion de cardinalité et réalisé que des ensemble infinis distincts pouvaient avoir des cardinaux différents.

Les nombres aleph diffèrent de l'infini ( $\infty$ ) qu'on trouve en algèbre ; les aleph mesurent des tailles d'ensemble tandis que l'infini est généralement définie comme la limite de la droite réelle ou un extrême de la droite réelle achevée. Tandis que certains aleph sont plus grands que d'autres, $\infty$ ne représente que $\infty$ .

Sommaire

1 Aleph-zéro
2 Aleph-un
3 Continu
4 Aleph-ω
5 Aleph-α
6 Points fixes
7 Voir aussi
- 7.1 Liens internes
- 7.2 Liens externes

[modifier] Aleph-zéro

Voir l’article Aleph-zéro.

Aleph-zéro ( $\aleph_0$ ) est par définition le cardinal de l'ensemble des entiers naturels. Si l'axiome du choix est vérifié, il s'agit également du plus petit cardinal infini. Un ensemble à $\aleph_0$ pour cardinal si et seulement s'il est infini et dénombrable.

[modifier] Aleph-un

Voir l’article Aleph-un.

$\aleph_1$ est le cardinal de l'ensemble des nombres ordinaux dénombrables (un ensemble lui-même indénombrable). Si l'axiome du choix est utilisé, $\aleph_1$ est le plus petit carinal qui suit $\aleph_0$ .

[modifier] Continu

Le cardinal de l'ensemble des nombres réels est $2^{\aleph_0}$ . Dans le cadre de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel munie de l'axiome du choix, l'hypothèse du continu est équivalente à l'identité $2^{\aleph_0}=\aleph_1.$ ; en l'absence de cette hypothèse, la place de $2^{\aleph_0}$ dans la hiérarchie des aleph n'est pas définie avec certitude.

[modifier] Aleph-ω

Conventionnellement, le plus petit ordinal infini est noté ω et le cardinal $\aleph_\omega$ est la borne supérieure de

$\left\{\,\aleph_n : n\in\left\{\,0,1,2,\dots\,\right\}\,\right\}.$

Dans la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel, aleph-ω est le premier cardinal indénombrable qui n'est pas égal au cardinal de l'ensemble des nombres réels.

[modifier] Aleph-α

Pour un nombre ordinal arbitraire α, aleph-α peut être défini à l'aide de la fonction successeur cardinal qui assigne à tout nombre cardinal ρ le cardinal qui le suit immédiatement ρ⁺.

Il est possible alors de définir les nombres aleph de la façon suivante :

$\aleph_{0} = \omega$

$\aleph_{\alpha+1} = \aleph_{\alpha}^+$

et pour λ, un ordinal limite infini :

$\aleph_{\lambda} = \bigcup_{\beta < \lambda} \aleph_\beta.$

[modifier] Points fixes

Pour tout ordinal α :

$\alpha\leq\aleph_\alpha.$

Dans beaucoup de cas, $\aleph_{\alpha}$ est strictement supérieur à α. Certains ordinaux limites sont des points fixes de la fonction aleph. Le premier cardinal de ce type est la limite de la suite