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Axiome du choix

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

L'axiome du choix, abrégé en « AC », est un axiome de la théorie axiomatique des ensembles.

Sommaire

[modifier] Énoncé

Dans sa forme première, l'axiome du choix s'énonce littéralement comme suit :

« Étant donnée une famille non vide d'ensembles non vides, il existe une fonction, appelée fonction de choix qui à chacun d'entre eux associe un de ses éléments. »

Cet axiome se traduit par le prédicat :

(\forall X)\; \left[X\neq \emptyset\wedge non(\emptyset \in X)\right]\Longrightarrow\left[ \exists f:X\rightarrow \bigcup_{Y\in X} Y,\; \forall x\in X, \; f(x)\in x \right]\;.

[modifier] Autres formulations

Il existe d'autres énoncés équivalents à l'axiome du choix, dont les suivants :

  • « Le produit d'une famille non vide d'ensembles non vides est non vide » :
(\forall X)\; \left[X\neq \emptyset \wedge non(\emptyset \in X)\right]\Longrightarrow \prod_{y\in X}y\neq \emptyset\; ;
  • « Toute surjection sur un ensemble non vide est inversible à droite » ;
  • Pour toute relation d'équivalence R sur un ensemble non vide X, il existe un choix de représentants de R, autrement dit un sous-ensemble Y de X tel que tout élément de X est R-équivalent à un unique élément de Y.
  • Théorème de Zermelo : « Tout ensemble non vide est bien ordonnable (c'est-à-dire peut être muni d'une structure de bon ordre) » ;
  • Lemme de Zorn : « Tout ensemble inductif non vide admet un élément maximal » ;


[modifier] Particularités

Cet axiome fait partie des axiomes optionnels et controversés de la théorie des ensembles. En effet, l'existence d'un objet défini à partir de l'axiome du choix n'est pas une existence constructive, c’est-à-dire que l'axiome ne décrit aucunement comment construire l'objet dont on affirme l'existence. Ainsi, dire qu'il existe une base de l'espace vectoriel des fonctions continues ne permet en aucune façon de dire comment décrire une telle base. De ce point de vue, l'axiome du choix peut paraître d'un intérêt limité et c'est pourquoi certains mathématiciens se montrent plus satisfaits d'une démonstration s'ils peuvent éviter d'avoir recours à cet axiome du choix. Mais la plupart des mathématiciens l'utilisent sans réticence particulière.

L'axiome du choix ne fait pas partie du jeu d'axiomes de la théorie des ensembles ZF. On appelle théorie ZFC, la théorie ZF munie en plus de l'axiome du choix.

[modifier] Anecdote

Bertrand Russell disait à propos de l'axiome du choix : Pour choisir une chaussette plutôt que l'autre pour chaque paire d'une collection infinie, on a besoin de l'axiome du choix. Mais pour les chaussures, ce n'est pas la peine.

Explication :

  • Quand on dispose d'une paire de chaussettes quelconque, on n'a aucun moyen a priori de distinguer une chaussette de l'autre, ce sont des objets a priori identiques et même si chaque matin on arrive à choisir laquelle on va mettre en premier, on serait bien en peine de trouver un procédé général (algorithme) qui nous permette de renouveler l'exploit éternellement.
  • Pour les chaussures, il existe un moyen de choisir qui marche tout le temps (une fonction de choix naturelle) : choisir toujours la chaussure gauche (ou droite) puisqu'il y a toujours une chaussure gauche et une chaussure droite. On dispose ainsi d'un algorithme simple.

Il semble cependant qu'il faille tempérer le pessimisme de Russell[1].

[modifier] Exemples où l'axiome du choix est nécessaire

[modifier] Formes faibles de l'axiome du choix

Il existe des formes faibles de l'axiome du choix que le mathématicien utilise couramment, la plupart du temps sans s'en apercevoir à moins d'être logicien ou « constructiviste », et qui servent à « construire » des suites. Ils sont absolument indispensables pour l'exposé usuel des fondements de l'analyse.

[modifier] Axiome du choix dénombrable

Cet axiome, abrégé en « AD », est la restriction de l'axiome du choix aux familles dénombrables :

« Etant donnée une famille dénombrable d'ensembles non vides, il existe une fonction qui à chacun d'entre eux associe un de ses éléments. »

Il est par exemple utilisé pour démontrer qu'une fonction f définie sur R est continue en 0 ssi f(xn) tend vers f(0) pour toute suite (xn) tendant vers 0. Il permet aussi de démontrer qu'un produit dénombrable d'espaces compacts est compact, ou encore le théorème de Hahn-Banach pour un espace de Banach séparable. Il permet également de démontrer le théorème des complets emboîtés (dont l'une des conséquences est le théorème de Baire).

Attention à une confusion courante: c'est la famille d'ensembles qui est dénombrable, aucune hypothèse n'étant faite sur les ensembles composant cette famille. L'axiome du choix dénombrable ne concerne pas la question du choix d'un élément dans un ensemble dénombrable mais la possibilité de faire une infinité dénombrable de choix simultanément.

[modifier] Axiome du choix dépendant

Cet axiome, abrégé en « DC », assure que, si R est une relation sur un ensemble non vide E vérifiant

\forall x \in E\ \exists y \in E\ xRy,

il existe une suite (xn) d'éléments de E telle que

\forall n\ x_nRx_{n+1}.

L'axiome DC implique l'axiome AD, sans que cela soit évident. Il est par exemple utilisé dans axiome de fondation et plus généralement relation bien fondée pour établir l'équivalence de deux définitions.

[modifier] Voir aussi

[modifier] Articles connexes

Article détaillé : Théorie axiomatique des ensembles.
Résultats liés à l'axiome du choix

[modifier] Lien externe

  1.  [pdf] [1]
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