Infini

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

L'infini (du latin finitus, « limité », noté habituellement ∞) est un concept qui s'attache à quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou en taille.

Sommaire

1 Définitions
2 Les notations
3 Les cardinaux infinis
- 3.1 Ensembles infinis dénombrables
- 3.2 Ensembles infinis non dénombrables
4 L'infini potentiel et l'infini actuel
5 Notes
6 Voir aussi
- 6.1 Articles connexes
- 6.2 Liens externes

[modifier] Définitions

[modifier] En mathématiques

Les mathématiciens considèrent essentiellement deux concepts d'infini, « l'infini potentiel » et « l'infini actuel ». Pour définir l'infini potentiel, on se donne des moyens (des axiomes) pour caractériser le fait que ce que l'on considère n'a pas de limite en nombre ou en taille. Pour définir l'infini actuel, on affirme l'existence d'un ou plusieurs objets mathématiques «infinis» dont on donne les propriétés par des axiomes. Savoir si ces objets ont une réalité renvoie au cœur de la philosophie des mathématiques.

[modifier] En physique

Tandis que les mathématiciens définissent l'infini par des axiomes, les physiciens ont créé une branche de la physique appelée cosmologie dans laquelle ils se demandent si l'univers est de taille finie ou infinie et se posent la question du temps et de sa finitude.

[modifier] En géométrie

Les peintres de la Renaissance, cherchant une représentation réaliste du réel, abordèrent la question de l'infini lorsqu'ils développèrent les méthodes de représentation perspective. Des lignes horizontales parallèles « se coupent à l'infini » dans l'espace et en un point sur le tableau; d'une part ce point du tableau ainsi que la ligne d'horizon du tableau correspondent à une certaine réalité en deux dimensions (2D). D'autre part à la Renaissance pas plus qu'aujourd'hui nul ne peut affirmer ou infirmer que les points à l'infini de l'espace à trois dimensions (3D) correspondent à la vérité de l'univers, d'où un certain malaise. Cette problèmatique ne recouvre pas exactement la nuance entre infinis potentiel et actuel, mais a donné lieu à la géométrie projective.

La géométrie projective consiste à rajouter à l'espace affine usuel des points dits « à l'infini » dans chaque direction. Le but est de ne plus faire de distinction entre droites sécantes et droites parallèles, ces dernières ayant un point commun à l'infini. C'est un outil de simplification remarquable. À titre d'exemple, en géométrie projective, il n'existe qu'un seul type de coniques au lieu de trois.

[modifier] En topologie

L'ajout d'un élément ∞ à un espace topologique localement compact permet de rendre cet espace compact. Il s'agit de la compactification d'Alexandroff.

Soit $(E, U)$ un espace topologique localement compact, son compactifié est l'espace $( E\cup\{\infty\}, U' )$ , où ∞ est un élément extérieur à E, et U' est obtenu de U en lui ajoutant tous les complémentaires dans $E\cup\{\infty\}$ des compacts de $(E, U)$ .

On peut alors définir les « voisinages de l'infini » : il s'agit de toute partie contenant un ouvert de U' \ U.

[modifier] Les notations

En numération romaine, on écrivait mille Ⓧ, puis CIƆ, avant de l'écrire M. L'évolution graphique a donné $\infin$ , en parallèle avec l'emploi du mot latin mille au pluriel pour désigner un nombre arbitrairement grand et inconnu. On notera l’expression française encore utilisée aujourd’hui « des milles et des cents » rappelant cet usage. Ce symbole serait donc simplement l’évolution de la ligature minuscule cıɔ en écriture manuscrite onciale.

Depuis Georg Cantor on utilise des lettres grecques pour désigner les nombres ordinaux infinis. Le plus petit ordinal infini, qui correspond au bon ordre usuel sur les entiers naturels, est noté ω.

Voir l’article Nombre transfini.

Le cardinal (on parle aussi de puissance) des ensembles infinis dénombrables est noté $\aleph_0$ (« aleph-zéro »).

[modifier] Les cardinaux infinis

[modifier] Ensembles infinis dénombrables

Un ensemble infini est dit dénombrable si et seulement si il existe une bijection entre lui et $\mathbb{N}$ . Intuitivement, un ensemble infini est dénombrable si et seulement si on peut « énumérer » ses éléments: le « premier » élément, le « deuxième » élément, le « troisième » élément, et ainsi de suite sans s'arrêter.

Par exemple, nous pouvons montrer que $\mathbb{Q}^+$ est dénombrable : classons pour cela les fractions irréductibles de numérateur et dénominateur tous deux positifs de la manière suivante :

pour toute fraction p/q, on calcule la somme p+q ;
on classe les fractions par ordre croissant de cette somme p+q ;
pour les fractions ayant la même somme p+q (comme 1/4 et 2/3), on les classe par ordre croissant de p ;
ainsi on peut attribuer à chaque fraction un entier unique correspondant à son numéro d'apparition dans la liste ainsi construite, le début de cette liste serait :

1 → 0

2 → 1/1

3 → 1/2

4 → 2/1

5 → 1/3

...

Nous avons bien mis $\mathbb{Q}^+$ en bijection avec $\mathbb{N}$ .

Le cardinal d'un ensemble fini est un nombre entier naturel. En revanche, le cardinal d'un ensemble infini dénombrable est dit « transfini ».

Dans l'exemple ci-dessus l'énumération des rationnels positifs est « effective » : le procédé d'énumération est un procédé calculatoire, un algorithme (décrit informellement). Mais on peut très bien avoir montré qu'un ensemble est infini dénombrable, par exemple en montrant qu'il est sous-ensemble des entiers et ne peut être fini^[1], sans être capable de donner un procédé effectif d'énumération. Cette dernière notion est étudiée dans l'article ensemble récursivement énumérable.

[modifier] Ensembles infinis non dénombrables

Un ensemble infini non dénombrable ne peut pas être mis en bijection avec $\mathbb{N}$ . On ne peut pas établir une liste de ses éléments.

Par exemple, l'ensemble des réels compris entre 0 et 1 est non dénombrable : la démonstration s'appuie sur l'argument de la diagonale de Cantor.

On dit que $\mathbb{R}$ a la puissance du continu, sa puissance (ou son cardinal) est $2^{\aleph_0}$ (le cardinal de l'ensemble des parties de $\mathbb{\N}$ ). L'argument diagonal de Cantor montre du même coup que $\aleph_1$ , le plus petit cardinal non dénombrable, est inférieur ou égal à $2^{\aleph_0}$ (dans ZFC). L'égalité de ces deux cardinaux, que l'on appelle l'hypothèse du continu, est indépendante des axiomes de la théorie des ensembles ZFC.

[modifier] L'infini potentiel et l'infini actuel

Selon Ibicrate, le géomètre, élève de Sophrotatos, les philosophes grecs ont toujours fait clairement le distinguo entre l’infini potentiel – accepté par Aristote essentiellement à l’usage des mathématiciens - l’« apeiron », plus exactement traduit par « l’illimité » - et l’infini actuel, par exemple l'ensemble des entiers naturels en tant que totalité achevée, qu’il refuse de considérer.

L'infini potentiel fut conçu déjà dans la Grèce antique. On considère que l'on se dirige vers l'infini sans jamais l'atteindre. L'infini est perçu comme une potentialité. Remarquons que même potentiels, les très grands nombres peuvent être difficiles à concevoir. Ainsi les suites de Goodstein sont des suites définies très simplement qui donnent lieu à des nombres qui dépassent l'entendement, bien qu'ils soient encore considérablement plus petits que ceux engendrés par le castor affairé.

L'infini actuel est une conception plus contemporaine. À la Renaissance, la perspective cavalière et par la suite la géométrie projective introduisirent des points de fuite à l'infini perceptibles sur des tableaux ou des dessins. Cela amena les penseurs à imaginer l'infini comme « atteignable » ou comme ayant une réalité proche, ils considérèrent l'infini comme une qualité intrinsèque de ce que ils étudiaient, l'infini étant perçu comme une réalité.

[modifier] Notes

↑ Par exemple l'ensemble des entiers qui codent une machine de Turing ne s'arrêtant pas sur son propre code, est évidemment dénombrable, mais ne peut être énuméré effectivement voir problème de l'arrêt.