Carré magique (mathématiques)

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Voir également la page d'homonymie Carré magique

En mathématiques, un carré magique d'ordre n est composé de $n 2$ nombres entiers généralement distincts, écrits sous la forme d'un tableau carré. Ces nombres sont disposés de manière à ce que leurs sommes sur chaque rangée, sur chaque colonne et sur chaque diagonale soient égales. Un carré magique est dit normal s'il est rempli avec les nombres entiers compris entre 1 et $n 2$ (inclus).

Il existe des dispositions magiques pour tout carré d'ordre n ≥ 1, sauf pour n = 2. Le carré d'ordre 1 est trivial, n'importe quel nombre indiqué dans l'unique case permet de satisfaire les règles. Le plus petit cas non trivial est le carré d'ordre 3 :

$\begin{bmatrix} 6 & 7 & 2 \\ 1 & 5 & 9 \\ 8 & 3 & 4 \\ \end{bmatrix}$

La somme obtenue sur chaque ligne, colonne ou diagonale est appelée constante magique ou somme magique. La constante magique d'un carré magique normal dépend uniquement de n et vaut :

Un exemple typique de carré magique est le jeu du Sudoku, utilisant des carrés magiques de dimension 9 dans lequel des contraintes supplémentaires sont ajoutées (présence de tous les chiffres de 1 à 9, et obtention d'un carré magique dans chaque sous groupe de 9 cases)

Démonstration

Voici une petite démonstration, très simple, permettant de retrouver cette somme. Comme le carré contient n lignes (ou n colonnes), si S est la somme de chaque ligne (ou chaque colonne), on a :

Or on a :

      car il s'agit de la somme des  $n 2$  premiers entiers

d'où :

Remarque: pour retrouver la formule de la somme S des n premiers nombres entiers, voici une astuce :

On écrit la somme des nombres dans l'odre croissant : 
                  
Cette même somme peut aussi s'écrire dans l'odre inverse:
                  
En faisant la somme de ces 2 lignes, membre à membre, on obtient :          
        * pour le membre de gauche : n fois (n+1) 
        * pour le membre de droite : 2 fois S       
On trouve donc:

Pour les carrés magiques normaux d'ordre n = 3, 4, 5, 6, 7, 8, … la constante magique vaut ainsi : 15, 34, 65, 111, 175, 260, ….

[modifier] Méthodes de construction

d'ordre impair

Il est assez aisé de créer des carrés magiques d'ordre impair.

Placer le 1 dans la case qui se trouve sous la case du milieu du carré. Décaler d'une case vers la droite puis d'une case vers le bas pour le 2, et ainsi de suite pour le 3, puis le 4, etc. Si une case est déjà occupée, il faut revenir au nombre précédent, ne pas décaler à droite puis en bas, mais descendre de 2 cases. Précision : quand on arrive au bord du carré, on continue du côté opposé (en haut ou à gauche), un peu comme si le carré était torique.

d'ordre pair

Créer des carrés magiques d’ordre pair est plus difficile. Le nouveau jeu mathématique "medjig" (auteur: Willem Barink, éditeur: Philos-Spiele, premier édition 2006), donne une possibilité générale et joueuse de créer des carrés d’ordre pair >4. Le puzzle medjig se compose de 18 pièces carrées, divisées en quatre quadrants sur lesquels il y a les nombres 0, 1, 2 et 3 en points. Chaque suite consécutive est présente trois fois. Le but du jeu est de créer des carrés 3 x 3 dans lesquels chaque rang (horizontal, vertical et diagonal) donne la somme de 9.

La méthode medjig s’exécute ainsi. Arrangez un "carré medjig" 3 x 3 (pour plus de facilité on peut se servir de toute la collection). Et puis prenez le carré magique 3 x 3 classique, divisez les cases en quatre quadrants, et remplissez les quadrants avec les nombres originaux et ses trois nombres derivés modulo-9 jusqu'à 36, suivant l’arrangement du carré medjig. En faisant ainsi, la case originale avec le nombre 8 produit les quadrants avec les nombres 8 (= 8 + 0x9), 17 (= 8 + 1x9), 26 (= 8 + 2x9) et 35 (= 8 + 3x9). Le nombre 1 produit 1, 10, 19 et 28. Voyez l’illustration suivante.

Ordre 3
8	1	6
3	5	7
4	9	2

Medjig 3 x 3
2	3	0	2	0	2
1	0	3	1	3	1
3	1	1	2	2	0
0	2	0	3	3	1
3	2	2	0	0	2
0	1	3	1	1	3

Ordre 6
26	35	1	19	6	24
17	8	28	10	33	15
30	12	14	23	25	7
3	21	5	32	34	16
31	22	27	9	2	20
4	13	36	18	11	29

Pour créer un carré magique d’ordre 8 il faut d’abord créer un carré medjig 4 x 4 (la somme 12). Et puis élargir par exemple le carré magique 4 x 4 de Dürer modulo-16 jusqu'à 64. Pour créer un carré d’ordre 10 il faut deux jeux de medjig. Pour l’ordre 12 on peut doubler horizontalement et verticalement un carré medjig 3 x 3, et élargir le carré magique d’ordre 6. Ainsi que l’ordre 16.

[modifier] Exemples

Carré d'ordre 4

Ordre 4
16	3	2	13
5	10	11	8
9	6	7	12
4	15	14	1

Exemple de carré d'ordre 4. Totaux : 34.

Ce carré magique était connu du peintre allemand Albrecht Dürer, qui l'a inclus dans sa fameuse gravure Mélancolie[1]. Il est combiné de telle sorte que pris horizontalement, verticalement ou en diagonale, la somme des nombres considérés est 34, ainsi d'ailleurs que la somme des quatre chiffres figurant dans les quatre cases centrales.

Dürer réussit également à faire figurer dans les deux cases centrales de la rangée du bas la date (1514) de son œuvre.

Carré d'ordre 5

17	24	1	8	15
23	5	7	14	16
4	6	13	20	22
10	12	19	21	3
11	18	25	2	9

Exemple de carré d'ordre 5. Totaux : 65.

Remarque : ce carré est «semi-diabolique» car la somme de 65 se retrouve sur toutes les diagonales brisées allant de gauche à droite. Exemple : 15 + 23 + 6 + 19 + 2 = 65. Si les diagonales brisées allant de droite à gauche présentaient cette même somme magique, le carré serait dit «diabolique». Il en existe d'ailleurs de nombreux.

Carré d'ordre 7

30	39	48	1	10	19	28
38	47	7	9	18	27	29
46	6	8	17	26	35	37
5	14	16	25	34	36	45
13	15	24	33	42	44	4
21	23	32	41	43	3	12
22	31	40	49	2	11	20

Exemple de carré d'ordre 7. Totaux : 175.

Carré d'ordre 8

52	61	4	13	20	29	36	45
14	3	62	51	46	35	30	19
53	60	5	12	21	28	37	44
11	6	59	54	43	38	27	22
55	58	7	10	23	26	39	42
9	8	57	56	41	40	25	24
50	63	2	15	18	31	34	47
16	1	64	49	48	33	32	17

Carré d'ordre 8, de Benjamin Franklin. Totaux : 260.

La somme des carrés d'une même ligne est de 260 alors que la somme des quatre premières cases est de 130. Une ligne à 45° partant de la colonne de gauche et traversant les quatre premières colonnes, pour redescendre ensuite jusqu'à la colonne de droite, rencontre huit nombres d'un total de 260, quantité qui se retrouve en additionnant les nombres des cases extrêmes et des quatre cases centrales. La somme des nombres des cases de 16 carrés juxtaposés pour former l'ensemble de la figure est de 130; ce nombre se retrouve en additionnant les chiffres de quatre cases quelconques équidistantes du centre.

Il est également possible de réaliser un carré magique d'ordre 8 en effectuant un parcours de case en case selon les règles de déplacement du cavalier du jeu d'échecs.

Un autre carré d'ordre 8

1	8	53	52	45	44	25	32
64	57	12	13	20	21	40	33
2	7	54	51	46	43	26	31
63	58	11	14	19	22	39	34
3	6	55	50	47	42	27	30
62	59	10	15	18	23	38	35
4	5	56	49	48	41	28	29
61	60	9	16	17	24	37	36

Carré d'ordre 8, du Général CAZALAS. Totaux : 260.

C'est un carré hyper-magique car même les diagonales brisées donnent la somme caracteristique du carré magique: 260. De plus chaque sous carré de deux sur deux a un total de 130. Un exemple de diagonale "brisée" dans ce carrée: la diagonale constituée par les nombres : {8,12,51,19,42,38,29} et {61}).

[modifier] Historique

Le terme « carré magique » a été introduit pour la première fois dans la langue française par Simon de La Loubère. Il en parle dans son ouvrage Du Royaume de Siam, paru en 1691, où il expose également une nouvelle méthode de construction applicable aux carrés d'ordre impair.

[modifier] Curiosités

Curiosité des carrés magiques

Si l'on relie les nombres du carré magique dans l'ordre croissant, on obtient une figure symétrique (voir image ci-contre). Exception pour le carré magique de medjig plus haut, car il y a plusieurs fois certains nombres, par conséquent, on ne peut pas déterminer le tracé de la figure.
La théorie des groupes a été utilisée pour trouver les carrés magiques d'un ordre donné à partir d'un de ceux-ci: voir [2] (en anglais).

[modifier] Bibliographie

Carrés magiques, carrés latins et eulériens : histoire, théorie, pratique. Jacques Bouteloup, Éditions du Choix, 1991.ISBN 2-909028-02-x

[modifier] Liens externes

Récupérée de « http://fr.wikipedia.org../../../c/a/r/Carr%C3%A9_magique_%28math%C3%A9matiques%29.html »

Catégorie : Carré magique

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Sommaire

[modifier] Méthodes de construction

[modifier] Exemples

[modifier] Historique

[modifier] Curiosités

[modifier] Bibliographie

[modifier] Liens externes

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