幻方

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幻方，有时又称魔方，由一组排放在正方形中的整数组成，其每行、每列以及两条对角线上的数之和均相等。通常幻方由从 $1$ 到 $N 2$ 的连续整数组成，其中 $N$ 为正方形的行或列的数目。因此 $N$ 阶幻方有 $N$ 行 $N$ 列，并且所填充的数为从 $1$ 到 $N 2$ 。

幻方可以使用 $N$ 阶方阵来表示，矩阵的每行、每列以及两条对角线的和都等于常数 $M 2 (N)$ ，如果填充数为 $1,2,\dots,N^2$ ，那么有

$M_2(N) = \frac{N(N^2+1)}{2}$

[编辑] 幻方简史

[编辑] 洛书

在中国古典文献中记载了洛书的传说：公元前23世纪大禹治水之时，一只巨大的神龟出现于黄河支流洛水中，龟甲上有 $9$ 种花点的图案，分别代表 $1,\dots,9$ 这 $9$ 个数，而 $3$ 行、 $3$ 列以及两对角线上各自的数之和均为15，世人称之为洛书。中国汉朝的数术记遗中，称之为九宫算，又叫九宫图，宋朝数学家杨辉把类似于九宫图的图形命名为纵横图。

[编辑] 构造法

有三种幻方存在构造方法：奇数阶幻方、 $4 M$ 阶幻方和 $4 M + 2$ 阶幻方，其中 $M$ 为自然数， $2$ 阶幻方不存在。幻方构造法主要有：连续摆数法、阶梯法（楼梯法）、奇偶数分开的菱形法、对称法、对角线法、比例放大法、斯特雷奇法、LUX法、拉伊尔法（基方、根方合成法）、镶边法、相乘法、幻方模式等。

[编辑] 奇数阶幻方构造法

Siamese方法（Kraitchik 1942年，pp. 148-149）是构造奇数阶幻方的一种方法，说明如下：

把 $1$ 放置在第一行的中间或者最后一行的中间。
顺序将 $2,3,\dots$ 等数放在右上方格中。
当右上方格出界的时候，则由另一边进入。
当右上方格中已经填有数，则把数填入正下方的方格中。
按照以上步骤直到填写完所有 $N 2$ 个方格。

（由于幻方的对称性，也可以把右上改为右下、左上以及左下等方位）

以下图 $5$ 阶幻方为例， $1$ 填写在 $(1,3)$ （第一行第三列）的位置上； $2$ 应当填写在其右上方格即 $(0,4)$ 中，由于 $(0,4)$ 超出顶边界，所以从最底行进入，即 $(5,4)$ ； $3$ 填写在 $(5,4)$ 的右上方格 $(4,5)$ 中； $4$ 填写在 $(4,5)$ 的右上方格 $(3,6)$ 中，由于 $(3,6)$ 超出右边界，所以从最左列进入，即 $(3,1)$ ； $5$ 填写在 $(3,1)$ 的右上方格 $(2,2)$ 中； $6$ 应该填写的方格 $(3,1)$ 已经被 $1$ 所占据，因此填写在 $(2,2)$ 的正下方格 $(3,2)$ 中；按照上面的步骤直到所有数填入。

$\begin{bmatrix} 8 & 1 & 6 \\ 3 & 5 & 7 \\ 4 & 9 & 2 \\ \end{bmatrix}$	$\begin{bmatrix} 17 & 24 & 1 & 8 & 15 \\ 23 & 5 & 7 & 14 & 16 \\ 4 & 6 & 13 & 20 & 22 \\ 10 & 12 & 19 & 21 & 3 \\ 11 & 18 & 25 & 2 & 9 \end{bmatrix}$	$\begin{bmatrix} 37 & 48 & 59 & 70 & 81 & 2 & 13 & 24 & 35 \\ 36 & 38 & 49 & 60 & 71 & 73 & 3 & 14 & 25 \\ 26 & 28 & 39 & 50 & 61 & 72 & 74 & 4 & 15 \\ 16 & 27 & 29 & 40 & 51 & 62 & 64 & 75 & 5 \\ 6 & 17 & 19 & 30 & 41 & 52 & 63 & 65 & 76 \\ 77 & 7 & 18 & 20 & 31 & 42 & 53 & 55 & 66 \\ 67 & 78 & 8 & 10 & 21 & 32 & 43 & 54 & 56 \\ 57 & 68 & 79 & 9 & 11 & 22 & 33 & 44 & 46 \\ 47 & 58 & 69 & 80 & 1 & 12 & 23 & 34 & 45 \end{bmatrix}$
$3$ 阶	$5$ 阶	$9$ 阶

[编辑] 偶数阶幻方构造法

[编辑] $4 M$ 阶幻方构造法

对于 $4 M$ 阶幻方一般都用对调法，制作起来很容易。如4阶幻方的排列法：
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & 10 & 11 & 12 \\ 13 & 14 & 15 & 16 \end{bmatrix}$
按如上图排列好，再将非主副对角线上的各个数关于中心对调，既成下图：
$\begin{bmatrix} 1 & 15 & 14 & 4 \\ 12 & 6 & 7 & 9 \\ 8 & 10 & 11 & 5 \\ 13 & 3 & 2 & 16 \end{bmatrix}$

[编辑] $4 M + 2$ 阶幻方构造法

[编辑] 加边法

以 $6$ 阶为例子，先排出 $4$ 阶的幻方，如上图，再将图中每一个数都加上 $8 m + 2 = 10$ ，有下图：
$\begin{bmatrix} 11 & 25 & 24 & 14 \\ 22 & 16 & 17 & 19 \\ 18 & 20 & 21 & 15 \\ 23 & 13 & 12 & 26 \end{bmatrix}$
在外围加上一圈格子，把 $1,2,3,\dots,8m+2$ 和 $16m^2+8m+3,16m^2+8m+4,\dots,(4m+2)^2$ 这些数安排在外圈格子内，但要使相对两数之和等于 $16 m (m + 1) + 5$ 。对于 $m = 1$ 这些数是： $1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$ ； $27,28,29,30,31,32,33,34,35,36$ 。
结果如下：
$\begin{bmatrix} 1 & 9 & 34 & 33 & 32 & 2 \\ 6 & 11 & 25 & 24 & 14 & 31 \\ 10 & 22 & 16 & 17 & 19 & 27 \\ 30 & 18 & 20 & 21 & 15 & 7 \\ 29 & 23 & 13 & 12 & 26 & 8 \\ 35 & 28 & 3 & 4 & 5 & 36 \end{bmatrix}$

[编辑] LUX法

在(4M+2)×(4M+2)個方格的適當格點上，先排出2M+1階的幻方。在首M+1行的格點，全部標上「L」，除了第M+1行中間的是標「U」；在第M+2行的格點，全部標上「U」，除了第M+2行中間的是標「L」；在餘下的M-1行的格點，全部標上「X」。將格點上的數乘以4，再減4，再按下面的規則加上1至4其中一個數，填入對應的格上：

 4 1    1 4    1 4
  L      U      X
 2 3    2 3    3 2

例子：

[ 68  65  96  93   4   1  32  29  60  57 ]
   17L     24L      1L      8L     15L   
[ 66  67  94  95   2   3  30  31  58  59 ]

[ 92  89  20  17  28  25  56  53  64  61 ]
   23L      5L      7L     14L     16L   
[ 90  91  18  19  26  27  54  55  62  63 ]

[ 16  13  24  21  52  49  80  77  88  85 ]
    4L      6L     13U     20L     22L   
[ 14  15  22  23  50  51  78  79  86  87 ]

[ 37  40  45  48  76  73  81  84  9   12 ]
   10U     12U     19L     21U      3U   
[ 38  39  46  47  74  75  82  83  10  11 ]

[ 41  44  69  72  97  100  5  8   33  36 ]
   11X     18X     25X      2X      9X   
[ 43  42  71  70  99  98   7  6   35  34 ]

[编辑] 参见

九宫图
九宫算
洛书
幻圓

[编辑] 有用的参考书

高治源，九宫图探秘，2004，香港天马图书有限公司
张道鑫，素数幻方，2003，香港天马图书有限公司
李杭强，趣味数学幻方，2002，香港天马图书有限公司
林正禄，开拓智力的奇方——幻方，2001，香港天马图书有限公司

[编辑] 外部链接

中国幻方主页(英语)
幻方介绍及其建造方法(英语)
http://www.shes.hcc.edu.tw/~oddest/ 一個小學老師幻方研究

来自“http://zh.wikipedia.org../../../%E5%B9%BB/%E6%96%B9/_/%E5%B9%BB%E6%96%B9.html”

页面分类: 與算術相關的趣題

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