Continuité

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La notion de continuité sert à décrire les phénomènes qui ne sautent pas brutalement, mais évoluent progressivement. Elle est définie de manière rigoureuse en mathématiques.

Intuitivement, une fonction dont on peut dessiner le graphe (donc à variable réelle) est continue si son graphe peut être dessiné sans lever le crayon.

Sommaire

1 Définition pour les fonctions réelles
2 Définition dans le cas des espaces métriques
- 2.1 Exemples
3 Définition générale (espaces topologiques)
- 3.1 Définition locale
- 3.2 Définition globale
4 Voir aussi

[modifier] Définition pour les fonctions réelles

Soit I un intervalle réel. Soit $f : I \to \R$ et $a \in I$ .

La fonction ƒ est dite continue en a si :

$\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \eta > 0 \quad \forall x \in I \quad \Big[|x - a| \leq \eta \implies |f(x) - f(a)| \leq \varepsilon\Big]$

Cela veut dire que si l'on se fixe un seuil ε, on peut trouver un intervalle autour de a tel que ƒ(x) soit à une distance inférieure à ε de ƒ(a).

Ce qui précède s'écrit également :

$\lim_{x \rightarrow a} f(x) = f(a)$

Si la continuité est valable uniquement à droite (pour x>a), on dit que f est continue à droite en a. De même à gauche pour a.

Dire que f est continue en a revient à dire qu'elle l'est à droite et à gauche en a.

La fonction ƒ est dite continue (sur I) si elle est continue en tout point a de I.

Une fonction discontinue présente des « sauts ».

[modifier] Commentaire

C'est l'idée du seuil fixé à l'avance qui est importante. Cette définition, fruit des efforts des mathématiciens du XIXème siècle pour rendre rigoureuse la notion intuitive de continuité, peut sembler à bon droit violente. En analyse non standard, une approche plus intuitive est possible : on dira que $f\,$ est continue en $a\,$ si $f(x)-f(a)\,$ est infiniment petit quand $x-a\,$ est infiniment petit. Tout repose alors sur une définition rigoureuse des infiniments petits.

La définition globale de la continuité dans le cadre des espaces topologiques(voir plus bas) permet elle aussi de se débarrasser des $\epsilon\,$ , au prix du formalisme de la topologie générale.

[modifier] Exemples

Une grande partie des fonctions usuelles sont continues sur leur intervalle de définition : fonctions polynômes, rationnelles, exponentielles, logarithmes, hyperboliques, trigonométriques, racine carrée, racine cubique, valeur absolue.
La fonction carré : $\R \to \R, x\mapsto x^2$ est continue.
La fonction partie entière sur les réels est discontinue : on « lève le crayon » en arrivant à chaque entier.
Une fonction réelle dérivable en un point est continue en ce point. Par contre la réciproque est fausse (par exemple la fonction racine carrée est continue en 0, mais n'y est pas dérivable).
Une fonction réelle peut n'être continue en aucun point : c'est le cas de $1_\mathbb{Q}$ , la fonction indicatrice de $\mathbb{Q}$ qui vaut 1 en tout point rationnel et 0 ailleurs. Intuitivement, on voit bien que pour tracer cette fonction, d'une part il faudrait « lever le crayon » une infinité de fois par intervalle, et surtout, pas une seule fois on ne pourrait tracer de ligne de longueur non nulle.

[modifier] Propriétés

La notion de continuité sur un intervalle pour les fonctions réelles

est utile pour prouver l'existence de solutions à des équations de la forme f(x) = m (voir théorème des valeurs intermédiaires)
simplifie le calcul de limites car $\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$

La composée de fonctions continues est une fonction continue. La composée d'une fonction continue et d'une suite convergente est une suite convergente.

Les propriétés de stabilité de la continuité par combinaison linéaire (i.e. pour tous α,β réels et f,g fonctions réelles continues, on a que α.f + β.g est continue) et par produit de deux fonctions font de l'ensemble des fonctions continues une algèbre sur le corps des réels.

[modifier] Quelques pièges

Il est faux qu'une fonction continue soit tantôt croissante, tantôt décroissante.
Il existe des fonctions continues nulle part dérivables (voir dérivabilité).

[modifier] Définition dans le cas des espaces métriques

Soient $(E,\,d)$ et $(E',\,d')$ deux espaces métriques.

Soient $f : E \to E'$ et $a \in E$ .
On dit que l'application $f$ est continue en $a$ si :

$\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \eta > 0 \quad \forall x \in E \quad \Big[d(x,a) \leq \eta \implies d'(f(x),f(a)) \leq \varepsilon\Big]$

Ainsi $f$ est continue en $a$ si et seulement si la limite de $f$ en $a$ existe et vaut $f (a)$ .

[modifier] Exemples

Une application linéaire d'un espace vectoriel normé de dimension finie vers un autre espace vectoriel normé est continue.
Une application linéaire d'un espace vectoriel normé vers un autre est continue si et seulement si elle est bornée sur la boule unité.

Et en effet, le cas non borné se présente en dimension infinie : considérons comme application linéaire la dérivation sur $\R[X]$ , l'espace des polynômes réels, où la norme d'un polynôme est la somme des valeurs absolues de ses coefficients. Prenons la famille de polynômes $\{X^n|n\in\N\}$ . Tous ces polynômes sont de norme 1. Pourtant leurs dérivées sont de la forme

n X n - 1

, donc de norme

n

avec

n

arbitrairement grand. Donc la famille des dérivées n'est pas bornée, et la dérivation n'est pas une application continue.

[modifier] Définition générale (espaces topologiques)

On donne deux définitions équivalentes dans le cas des espaces topologiques.

[modifier] Définition locale

La définition locale (c'est-à-dire pour un point) de la continuité repose sur la notion mathématique de limite. Une fonction sera dite continue en un point a si sa limite en a est égale à sa valeur en a.

Plus formellement, étant donnés deux espaces topologiques $E \,\!$ et $F \,\!$ , un point $a \in E \,\!$ , et une application $f \, : \, E \rightarrow F \,\!$ , on dira que $f \,\!$ est continue au point $a \,\!$ si et seulement si :

$\lim_{x \to a} f(x) = f(a) \,\!$

La fonction $f \,\!$ est dite continue (tout court, ou continue sur $E \,\!$ ) si et seulement si elle est continue en tout point a de $E \,\!$ .

[modifier] Définition globale

Contrairement à la définition locale, la définition globale ne permet pas de caractériser les fonctions continues en un point particulier, mais seulement celles qui sont continues sur l'espace entier. On peut la considérer comme une propriété découlant de la première définition.

Une application continue d'un espace topologique $E$ dans un espace topologique $E'$ est une application telle que l'image réciproque de tout ouvert (resp. un fermé) de l'espace d'arrivée soit un ouvert (resp. un fermé) de l'espace de départ.

Le lien avec la notion intuitive est le suivant : quand une fonction « saute », cela signifie que des points très proches de l'espace de départ, se retrouvent sur des points très éloignés à l'arrivée. Or pour une application continue, ces sauts sont impossibles, car si on considère un point du départ et son image à l'arrivée, on sait que tout un voisinage de ce point de départ doit arriver au voisinage du point d'arrivée !

Cette définition alternative est souvent utilisée comme propriété pour montrer qu'un ensemble est ouvert (ou fermé). Par exemple l'hyperbole $\mathcal{H} = \left\{ (x,y)\in\R^2 \, | \, xy=1 \right\} \,\!$ peut être vue comme l'image réciproque de $\{ 1 \} \,\!$ par l'application produit :

$\begin{array}{cccc}\Pi : & \R^2 & \rightarrow & \R \\ & (x,y) & \mapsto & xy\end{array}$

L'hyperbole $\mathcal{H} = \Pi^{-1} \left( \{ 1 \} \right) \,\!$ est fermée car elle est l'image réciproque du singleton $\{ 1 \} \,\!$ par l'application continue $\Pi \,\!$ .