רציפות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

מושג הרציפות של פונקציה הוא המושג היסודי באנליזה מתמטית. במאמר זה נעסוק רק ברציפות של פונקציות ממשיות, נושא שהוא חלק מהחשבון האינפיניטסימלי. באופן אינטואיטיבי פונקציה רציפה היא פונקציה שאפשר לצייר מבלי להרים את העיפרון מהדף. רעיונות דומים מופיעים באופן כללי יותר במרחבים מטריים ואפילו מרחבים טופולוגיים כלליים - ראו רציפות (טופולוגיה).

[עריכה] הגדרות

פונקציה רציפה בנקודה אם יש לה גבול באותה נקודה והוא שווה לערך הפונקציה. לפיכך, כמו בהגדרת גבול ניתן להגדיר רציפות בשתי גישות שונות. ניתן שלוש הגדרות שקולות:

תהי $\,f$ פונקציה המקבלת ומחזירה ערכים ממשיים, המוגדרת בסביבה של $\ x_0$ .

נוסח ראשון (הגדרת הרציפות על-פי קושי, בלשון $\varepsilon-\delta$ ):

הפונקציה $\,f$ רציפה בנקודה $\ x_0$ אם לכל $\ \varepsilon > 0$ (קטן כרצוננו) קיים $\ \delta>0$ מתאים כך שאם $\ |x-x_0| < \delta$ אז $|f(x)-f(x_0)| < \varepsilon$ .

נוסח שני (הגדרת הרציפות על-פי היינה, בלשון הסדרות):

הפונקציה $\,f$ רציפה בנקודה $\ x_0$ אם לכל סדרה $\ \left\{x_n\right\}_{n=1}^\infty$ המקיימת $\ x_n\to x_0$ מתקיים $\ f(x_{n})\to f(x_0)$ .

נוסח שלישי (הגדרה המשתמשת בהגדרת גבול):

הפונקציה $\,f$ רציפה בנקודה $\ x_0$ אם יש ל- $\,f$ גבול $\,L$ בנקודה $\ x_0$ ומתקיים $\ f(x_0)=L$ .

כאמור לעיל, שלוש ההגדרות לרציפות שקולות.

[עריכה] פעולות בין פונקציות

סכום והפרש של שתי פונקציות רציפות הן פונקציות רציפות (דהיינו, בכל נקודה בה שתי הפוקנציות רציפות, גם פונקציות הסכום וההפרש רציפות).
מכפלה של שתי פונקציות רציפות היא פונקציה רציפה.
מנה של שתי פונקציות רציפות היא פונקציה רציפה בתחום הגדרתה, דהיינו בכל נקודה בה הפונקציה במכנה אינה מתאפסת.
הרכבה של פונקציות רציפות היא פונקציה רציפה.

[עריכה] רציפות בקטע

אם פונקציה היא רציפה בכל נקודה $\ x_0$ בקטע, אומרים שהיא רציפה בקטע. במקרה כזה מותר למהירות שבה מתקרבים הערכים של $\ f(x)$ לערכים של $\ f(x_0)$ (כשהיא נמדדת בגודל של $\ \delta$ עבור $\ \varepsilon$ נתון) להיות תלויה ב- $\ x_0$ . הפונקציה רציפה במידה שווה אם לכל $\ \varepsilon>0$ אפשר לבחור את $\ \delta$ באופן שאינו תלוי ב- $\ x_0$ ; זוהי כמובן תכונה חזקה יותר. מאידך, לפי משפט קנטור, אם פונקציה רציפה בכל נקודה של קטע סגור (ובאופן כללי יותר קבוצה קומפקטית במרחב מטרי), אז היא רציפה במידה שווה.

מקובל לומר שפונקציה רציפה היא פונקציה ש"אפשר לצייר בלי להרים את העפרון מהדף". תאור זה נכון לפונקציות רציפות במידה שווה, אבל סתם פונקציה רציפה (המוגדרת על קטע סופי שאינו סגור) עלולה להיות בעלת אורך אינסופי; למשל הפונקציה $\ f(x)=\sin(1/x)$ בקטע $\ (0,1]$ .

[עריכה] תכונות של פונקציות רציפות

משפט ויירשטראס הראשון אומר כי כל פונקציה שרציפה בקטע סגור חסומה בקטע.
משפט ויירשטראס השני אומר שפונקציה שרציפה בקטע סגור מקבלת בו את המקסימום והמינימום שלה.

שני המשפטים נכונים באופן כללי יותר, עבור פונקציה ממשית רציפה המוגדרת על קבוצה קומפקטית (בכל מרחב טופולוגי).

משפט ערך הביניים אומר כי פונקצייה רציפה בקטע מקבלת כל ערך שבין הערכים אותם היא מקבלת בקצות הקטע.
פונקציה רציפה בקטע סגור אינטגרבילית בו.
רציפות בנקודה היא תנאי הכרחי (אך לא מספיק) לקיום נגזרת באותה נקודה.

[עריכה] נקודות אי רציפות

ערך מורחב – נקודת אי רציפות

נקודה שבה הפונקציה אינה רציפה נקראת נקודת אי רציפות. ניתן למיין את נקודות אי הרציפות לשלושה סוגים:

אי רציפות סליקה: יש לפונקציה גבול בנקודה אך ערך הפונקציה שם שונה מן הגבול, או שהפונקציה כלל אינה מוגדרת באותה נקודה.
אי רציפות מהסוג הראשון: אין בנקודה גבול, אך קיימים גבולות חלקיים. למשל, אם הפונקציה היא פונקציה ממשית במשתנה יחיד, קיים הגבול מימין, וקיים הגבול משמאל, אך הם שונים זה מזה.
אי רציפות מהסוג השני: זוהי נקודת אי רציפות שאינה סליקה ואינה מן הסוג הראשון.

[עריכה] דוגמאות

כל פולינום היא פונקציה רציפה.
הפונקציה ערך מוחלט היא רציפה בכל מקום, אך לא גזירה בנקודה x=0.
פונקציה מעריכית היא פונקציה רציפה (וגזירה אינסוף פעמים).
סינוס וקוסינוס הן פונקציות רציפות (וגזירות אינסוף פעמים).
פונקציית מדרגה (שמחזירה 1 למספרים חיוביים ו 0 למספרים שליליים) איננה רציפה בנקודה x=0.
פונקציית הערך השלם (המחזירה את הערך הגדול ביותר מבין כל המספרים השלמים הקטנים או שווים ל - x) אינה רציפה לכל x שלם.
פונקציית דיריכלה אינה רציפה באף נקודה על הישר.
פונקציית רימן רציפה בכל הנקודות האי רציונליות ואינה רציפה בכל הנקודות הרציונליות.

[עריכה] ראו גם

חשבון אינפיניטסימלי
מושגי יסוד:	חשבון אינפיניטסימלי \| סדרה \| גבול \| סדרת קושי \| טור \| אינפיניטסימל \| שדה המספרים הממשיים \| ערך מוחלט \| אי-שוויון המשולש \| אי-שוויון קושי-שוורץ
פונקציות:	פונקציה \| גרף פונקציה \| פונקציה לינארית \| פונקציה מונוטונית \| נקודת קיצון \| פונקציה קעורה \| פונקציה קמורה \| פונקציה רציפה \| רציפות במידה שווה \| נקודת אי רציפות \| נגזרת \| טור טיילור \| סדרת פונקציות \| התכנסות במידה שווה
משפטים:	משפט בולצאנו-ויירשטראס \| משפטי ויירשטראס \| משפט קנטור \| משפט ערך הביניים \|משפט פרמה \| משפט רול \| משפט הערך הממוצע של לגראנז' \| משפט הערך הממוצע של קושי \| משפט דארבו \| כלל השרשרת \| כלל הסנדוויץ' \| כלל לופיטל \| משפט שטולץ \| אריתמטיקה של גבולות
האינטגרל:	אינטגרל \| המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי \| אינטגרציה בחלקים \| שיטות אינטגרציה
אנליזה מתקדמת:	פונקציה מרוכבת \| אנליזה וקטורית \| שיטת ניוטון-רפסון \| משוואה דיפרנציאלית \| טופולוגיה \| תורת המידה
אנליזה מתמטית - אנליזה וקטורית - טופולוגיה - אנליזה מרוכבת - אנליזה פונקציונלית - תורת המידה