Folytonos függvény

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Ez a szócikk a valós-valós függvények folytonosságát tárgyalja. Az általánosabb keretek között értelmezett folytonosságot a folytonosság (topológia) szócikkben kell keresni.

A matematikában, közelebbről a matematikai analízisben egy f : A $\rightarrow$ B, x $\mapsto$ f(x) függvényt, lényegében akkor nevezünk folytonosnak, ha az x kis megáltoztatása esetén a hozzátartozó f(x) is csak kicsit változik. Természetesen a „kis változás” relatív fogalom, így a folytonosság matematikailag használható definíciója nem így fog hangzani. A folytonosság lokális tulajdonság, a függvény értelmezési tartományának egy pontjában definiálandó fogalom (pontbeli folytonosság). A korlátos és zárt intervallumon értelmezett valós függvények esetén ehhez hozzájárul a valós intervallumok folytonossági vagy teljességi, és zárt tulajdonsága, mely által ezek a függvények egyenletesen folytonosak és Darboux-tulajdonságúak lesznek (intervallumon folytonos függvények). Ezek a függvények szemléletesebben mutatják a folytonos függvényekről alkotott intuitív képet, miszerint ezeknek a grafikonja a ceruza felemelése nélkül megrajzolható.

[szerkesztés] Pontbeli folytonosság

[szerkesztés] Sztenderd definíció

Azt mondjuk, hogy a valós számok egy A részhalmazán értelmezett f : A $\rightarrow$ R valós értékű függvény folytonos az értelmezési tartományának egy u ∈ A pontjában, ha minden ε pozitív számhoz létezik olyan δ pozitív szám, hogy minden olyan x ∈ A számra, amely u-tól δ-nál kisebb mértékben tér el teljesül, hogy f(x) ε-nál kisebb távolságra van f(u)-tól. Azaz jelekben:

$(\forall \varepsilon>0)(\exists \delta>0)(\forall x\in A)(|x-u|<\delta\;\Rightarrow\;|f(x)-f(u)|<\varepsilon)$

Magyarázat. Ha azt a kijelentést szándékozunk formalizálni, hogy az u-t egy kicsit megváltoztatva (x-re) az f(u) függvényérték is csak kicsit változik meg (f(x) lesz), akkor a „kicsi” fogalmát pontosítandó be kell vezetnünk a „közelítési hiba” fogalmát. Tegyük fel, hogy ismerjük az f(u) függvényértéket és megelégszünk azzal, hogy az u körüli kis tartományban a függvény f(x) értékeit ezzel a számmal kívánjuk helyettesíteni, közelíteni. Ekkor a függvénytől függ, hogy mekkora |f(x)-f(u)| közelítési hibát követünk el. Világos, hogy minél kisebbre akarjuk szorítani a hibát, ecélból kijelölünk egy felső hibakorlátot, melyet szándékaink szerint nem léphet át a közelítés (például legyen 1 tizedesjegyre, 2 tizedesjegyre ..., pontos az eredmény). A hiba eme felső korlátját jelöljük ε-nal és általában azzal tudjuk ezt a hibakorlátot betartani, ha az u-hoz elegendően közeli x-ekre szorítkozunk, azaz egy elég szűk ( u-δ , u+δ ) intervallumra. Ebben a helyzetben a függvény u-beli folytonossága azt jelenti, hogy akármilyen szigorú (azaz kicsi) ε hibakorlátot is szabunk, mindig lesz az u körül olyan kis ( u-δ , u+δ ) intervallum, amelyen belüli x-ekre a függvény f(x) értékei a hibakorlátnál – ε-nál – kevesebb mértékben térnek el f(u)-tól.

[szerkesztés] Függvényhatárértékkel történő jellemzés

Legyen f a valós számok egy A részhalmazán értelmezett, valós értékű függvény és legyen u ∈ A. Az, hogy az f függvény az u pontban folytonos, egyenértékű azzal, hogy

u az A-nak izolált pontja, vagy
u az A-nak torlódási pontja és létezik és f(u)-val egyenlő a $\mbox{ }_{\lim\limits_{x\to u}f(x)}$ határérték.

Itt u izolált pontja A-nak, ha van olyan környezete, melyben legfeljebb csak egyetlen A-beli elem van (az u). Az, hogy u torlódási pont, az pedig azt jelenti, hogy az u minden környezetében az A-nak végtelen sok pontja van.

[szerkesztés] Sorozathatárértékkel történő jellemzés

Ezt még Heine-féle definíciónak illetve a folytonosságra vonatkozó átviteli elvnek is szokták nevezni.

Az f, valós számok egy A részhalmazán értelmezett, valós értékű függvény, akkor és csak akkor folytonos az u ∈ A pontban, ha minden az értelmezési tartományban (A) haladó, u-hoz konvergáló (x_n) sorozat esetén a függvényértékek (f(x_n)) sorozata is konvergens és az f(u) számhoz tart. Jelben:

$(\forall (x_n)\in A^{\mathbb{N}})(\;\exists\lim\limits_{n \to\infty}\!x_n=u\;\Rightarrow\;\exists\lim\limits_{n \to\infty}\!f(x_n)=f(u)\;)$

[szerkesztés] Nemsztenderd jellemzés

Az f, valós számok egy A részhalmazán értelmezett, valós értékű függvény, akkor és csak akkor folytonos az u ∈ A pontban, ha minden végtelenül kicsiny h (nemsztenderd) számra az

$f(u+h)-f(u)\,$

különbség is végtelenül kicsiny (feltéve, hogy az u+h-ban a függvény kiterjesztése létezik).

[szerkesztés] Intervallumon való folytonosság

Ha a valós számok D részhalmazán az f leképezéssel adott valós értékű függvény - <D, R, f> – az értelmezési tartomány egy intervallumának minden pontjában folytonos, akkor az addottintervallumon folytonosnak mondjuk.

Megjegyzés: A valós számok intervalluma – szemléletesen – a számegyenes egy összefüggő szakasza. Ha a végpontok is ide tartoznak, az intervallum zárt, ha nem akkor nyílt. Lehet egyik végén zárt, másik végén nyílt az intervallum. Az intervallum zárt végén csak egyoldalról követeljük meg a folytonosságot (az ehhez szükséges határértéket).

[szerkesztés] Szakadási hely

Az értelmezési tartomány egy izolált pontját a függvény szakadási helyének nevezik, ha ebben a pontban nem folytonos.

[szerkesztés] Külső hivatkozások

A lap eredeti címe "http://hu.wikipedia.org../../../f/o/l/Folytonos_f%C3%BCggv%C3%A9ny.html"

Kategóriák: Analízis | Topológia