Fonction beta de Dirichlet
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En mathématiques, la fonction β de Dirichlet, aussi appelée fonction ζ de Catalan, est un des exemples les plus simples de fonction L, après la fonction zeta de Riemann. C'est un cas particulier de fonction L de Dirichlet pour le caractère de Dirichlet alterné de période 4.
Elle est définie comme la fonction d'une variable complexe s, pour s de partie réelle plus grande que 1, par la série :
-
,
ou par l'intégrale
.
Cette fonction se prolonge de facon méromorphe sur le plan complexe.
Sommaire |
[modifier] Équation fonctionnelle
L'équation fonctionnelle suivante permet d'étendre la fonction β à la partie gauche du plan complexe Re s <1.
où Γ(s) est la fonction Gamma d'Euler.
[modifier] Valeurs spéciales
On peut noter les valeurs particulières suivantes :
,
.
Plus généralement, les valeurs prises par la fonction β aux entiers positifs impairs sont des multiples rationnels de puissances de π.
,
ou les E2k sont des nombres d'Euler.
Par contre, on ne connaît pas grand chose sur les valeurs aux entiers positifs pairs. Le nombre β(2) est appelé la constante de Catalan.
[modifier] Voir aussi
[modifier] Réferences
- J. Spanier and K. B. Oldham, An Atlas of Functions, (1987) Hemisphere, New York.
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