Formule de Trotter-Kato

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La formule de Trotter-Kato, encore appelée simplement formule de Trotter ou de façon plus complète formule de Lie-Trotter-Kato, s'écrit formellement :

$\textrm{e}^{t(\hat{A} + \hat{B})} \ = \ \lim_{n \to \infty} \ \left[ \ \textrm{e}^{\hat{A}t/n} \ \times \ \textrm{e}^{\hat{B}t/n} \ \right]^n$

Cette formule n'est pas triviale, car $\hat{A}$ et $\hat{B}$ y sont des opérateurs qui ne commutent en général pas !

Sommaire

1 Le théorème de Lie (1875)
- 1.1 Enoncé du théorème
- 1.2 Démonstration
2 Le théorème de Trotter (1959)
3 Le théorème de Kato (1978)
4 Bibliographie

[modifier] Le théorème de Lie (1875)

[modifier] Enoncé du théorème

Soient $\hat{A}$ et $\hat{B}$ deux matrices carrées de dimension $d$ , et $n$ un entier positif. Alors, on a la majoration suivante :

$\vert| \, \left[ \ \textrm{e}^{\hat{A}/n} \ \times \ \textrm{e}^{\hat{B}/n} \ \right]^n\ - \ \textrm{e}^{\hat{A} + \hat{B}} \, \vert| \ \le \ O \left( \frac{1}{n} \right)$

[modifier] Démonstration

On définit les deux matrices suivantes : $\hat{S}_n \ = \ \textrm{e}^{(\hat{A} + \hat{B})/n}$ et : $\hat{T}_n \ = \ \textrm{e}^{\hat{A}/n} \ \times \ \textrm{e}^{\hat{B}/n}$ . Il faut établir la majoration suivante de la norme :

$\vert| \, \hat{T}_n^n\ - \ \hat{S}_n^n \, \vert| \ \le \ O \left( \frac{1}{n} \right)$

Si $x$ et $y$ sont deux nombres réels qui commutent, on a pour tout entier $p \ge 1$ la formule suivante :

$x^p \ - \ y^p \ = \ (x - y ) \ \left[ \ \sum_{k=0}^{p-1} \ y^k \ x^{p-1-k} \ \right]$

Cette formule se démontre par exemple par récurrence. On peut généraliser cette formule aux matrices, en faisant soigneusement attention à l'ordre des opérateurs, qui ne commutent en général pas. On démontre qu'on obtient dans ce cas la formule suivante :

$\hat{A}^p \ - \ \hat{B}^p \ = \ \left[ \ \sum_{k=0}^{p-1} \ \hat{A}^k \ (\hat{A} - \hat{B} ) \ \hat{B}^{p-1-k} \ \right]$

On applique ici cette formule avec $p = n$ aux deux opérateurs $\hat{S}_n$ et : $\hat{T}_n$ du problème :

$\hat{T}_n^n \ - \ \hat{S}_n^n \ = \ \left[ \ \sum_{k=0}^{n-1} \ \hat{T}_n^k \ (\hat{T}_n - \hat{S}_n ) \ \hat{S}_n^{n-1-k} \ \right]$

En utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz, on obtient la majoration suivante de la norme :

$\vert| \, \hat{T}_n^n\ - \ \hat{S}_n^n \, \vert| \ \le \ \left[ \ \sum_{k=0}^{n-1} \ \vert| \hat{T}_n^k \vert| \ \vert|(\hat{T}_n - \hat{S}_n )\vert| \ \vert|\hat{S}_n^{n-1-k}\vert| \ \right]$

La somme comportant $n$ termes, on peut réécrire la majoration :

$\vert| \, \hat{T}_n^n\ - \ \hat{S}_n^n \, \vert| \ \le \ n \ \vert| (\hat{T}_n - \hat{S}_n ) \vert| \ \times \ \textrm{max}_k \vert| \hat{T}_n \vert|^k \ \times \ \textrm{max}_k \vert| \hat{S}_n \vert|^{n-1-k}$

On utilise alors le fait que pour toute matrice $\hat{A}$ :

$\vert| \textrm{e}^{\hat{A}} \vert| \ \le \ \textrm{e}^{\vert|\hat{A}\vert|}$

A suivre ...

Cet article est une ébauche à compléter concernant l'algèbre, vous pouvez partager vos connaissances en le modifiant.

[modifier] Le théorème de Trotter (1959)

[TR59]

[modifier] Le théorème de Kato (1978)

[KA78]

[modifier] Bibliographie

[TR59] H.F. Trotter ; On the product of semigroups of operators, Poceedings of the American Mathematical Society 10 (1959), 545-551.

[KA78] Tosio Kato ; Trotter's product formula for arbitrary pair of self-adjoint contraction semigroups, publié dans : Mark Kac (ed) ; Topics in functionnal analysis (essays dedicated to M. G. Kreuin on the occasion of his 70th birthday), Advances in mathematics supplementary studies 3, Academic Press (1978), 185-195.

Michael Reed & Barry Simon ; Methods of modern mathematical physics, Academic Press. Un traité de physique mathématique publié en 4 volumes :
- Vol. I : Functionnal analysis, (1972), ISBN .
- Vol. II : Fourier analysis, self-adjointness, (1975), ISBN .
- Vol. III ; Scattering Theory, (1979), ISBN .
- Vol. IV : Analysis of operators, 1978), ISBN .

Vincent Kachia ; La formule de Trotter-Kato : approximation des semi-groupes en normes d'opérateur et de trace, thèse de mathématiques de l'université de la méditéranée (Aix-Marseille III), soutenue le 20 avril 2001. Texte complet disponible au format pdf.