Gradient

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Cet article manque de sources.
Améliorez sa qualité à l'aide des conseils sur les sources !

$\Delta=\nabla^2$

$=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}$
Article d' Analyse vectorielle

Équation aux dérivées partielles

Opérateurs

Gradient

en théorie physique

groupe

physique mathématique

Modèle standard (physique)

En physique, en analyse vectorielle, on définit le gradient comme une grandeur vectorielle qui indique de quelle façon une grandeur physique varie dans l'espace. En mathématiques, le gradient est une quantité représentant la variation d'une fonction dépendant de plusieurs paramètres par rapport à la variation de ces différents paramètres - dans ce cas, ce n'est pas un vecteur vrai, puisqu'il ne se transforme pas comme un vecteur. Par exemple, lors d'un changement de coordonnées, où on multiplie les coordonnées par deux, le gradient est divisé par deux.

Il est courant, selon la façon de noter des vecteurs, d'écrire le gradient d'une fonction $f$ ainsi :

$\overrightarrow{\mathrm{grad}}~f$ ou $\overrightarrow{\nabla} f$

Souvent, en typographie, on préfère mettre un caractère en gras pour afficher son caractère vectoriel :

$\mathrm{grad}~f$ ou $\nabla f$ .

Le gradient étant d'une importance capitale en physique, où il fut d'abord employé. Il peut être interessant d'en voir certains exemples avant une définition plus mathématique.

Sommaire

1 Le gradient de température
- 1.1 Gradient dans une seule direction
- 1.2 Gradient de température dans trois directions différentes
2 Variation de l'aire d'un rectangle
3 Définition mathématique
4 Relations vectorielles
5 Voir aussi

[modifier] Le gradient de température

[modifier] Gradient dans une seule direction

Imaginons que nous mesurions la température d'un solide, d'un liquide, d'un gaz dans une seule direction (hauteur, longueur, épaisseur). Il s'avère que la température T dépend de l'endroit x où elle est prise . On définit alors une fonction T(x). On peut chercher , pour une petite variation de x (dx), quelle serait la variation de température (dT). Celle ci s'écrit $d T = T (x + d x) - T (x)$ .

Si on cherche à quelle variation moyenne cela correspond, il faut calculer

$\frac{dT}{dx} = \frac{T(x + dx) - T(x)}{dx}$ .

C'est ce qu'on appelle communément le gradient de température.

De manière très pragmatique, on peut imaginer que la température est une fonction linéaire du déplacement, alors le gradient de température devient tout simplement la variation moyenne de température en fonction du lieu

$\frac{\Delta T}{\Delta x}$

Mais certains reconnaitront là le taux d'accroissement de la température T en fonction du lieu et pourront remarquer que, pour dx « très petit », ce quotient se rapproche de la dérivée de la température en fonction du lieu, dérivée notée en mathématique T'(x) et en physique $\frac{dT}{dx}$ . On appelle alors gradient de température cette dérivée.

[modifier] Gradient de température dans trois directions différentes

En réalité, la température varie en fonction d'un déplacement dans l'espace donc en fonction de x, y et z. Il s'agit alors d'une fonction T dépendant de trois variables x, y, z. Un déplacement dans une des trois directions, induit une variation de température que l'on peut comme précédemment, quantifier par

$\frac{\partial T}{\partial x}$ , $\frac{\partial T}{\partial y}$ , $\frac{\partial T}{\partial z}$ . On crée alors un vecteur

$\overrightarrow{\mathrm{grad}}(T) =\overrightarrow{ \nabla}(T)= \left(\frac{\partial T}{\partial x}, \frac{\partial T}{\partial y}, \frac{\partial T}{\partial z}\right)$

de nouveau appelé gradient de température.

Bilan : nous étions partis d'une fonction de $\mathbb{R}^3$ dans $\mathbb{R}$ et nous aboutissons à une fonction vectorielle de $\mathbb{R}^3$ dans $\mathbb{R} ^3$ .

Connaissant la température à l'endroit $(x 0, y 0, z 0)$ , il est possible de déterminer la température en un point $(x 0 + d x, y 0 + d y, z 0 + d z)$

$T(x_0+dx , y_0+dy , z_0+dz) = T(x_0,y_0,z_0) + \frac{dT}{dx}.dx + \frac{dT}{dy}.dy + \frac{dT}{dz}.dz$

En écriture condensée, cela donne

$T(\vec{r_{0}}+d\vec{r}) = T(\vec{r_{0}}) + \overrightarrow{\mathrm{grad}}(T) (\vec{r_0})\cdot d\vec{r}$

où le point représente le produit scalaire des deux vecteurs

[modifier] Variation de l'aire d'un rectangle

Considérons dans le plan (xOy) un rectangle de côté x et y. Sa surface est égale à xy et dépend des coordonnées x et y du point M. Imaginons que l'on déplace le point M un tout petit peu (de façon infinitésimale), la surface va changer et on peut écrire que : S+dS=(x+dx).(y+dy)=x.y +x.dy+y.dx + dx.dy on en déduit facilement que dS= y.dx+x.dy+dx.dy Une simple application numérique où x et y seraient des mètres et dx et dy des centimètres montre que dx.dy est négligeable 'du second ordre'.

On écrit donc:

$dS=(x+dx).(y+dy)-x.y =y.dx + x.dy = (y,x)\cdot(dx,dy)=\overrightarrow\nabla S\cdot\overrightarrow{dOM}$

$\overrightarrow\nabla S\cdot\overrightarrow{dOM}= (y\vec i +x \vec j )\cdot (dx\vec i+ dy \vec j)=\left(\frac{\partial(xy)}{\partial x}\vec i +\frac{\partial(xy)}{\partial y}\vec j \right)\cdot (dx\vec i+ dy \vec j)$

Toutes ces égalités sont différentes façons d'écrire...un produit scalaire de deux vecteurs:

$dS=(x+dx).(y+dy)-x.y =y.dx + x.dy =\mathrm {\overrightarrow{\mathrm{grad}}} (xy) \cdot \overrightarrow{dOM} = \overrightarrow\nabla (xy )\cdot\overrightarrow{dOM}$ où $\overrightarrow{\mathrm{grad}}(xy)=(y,x)$

L'intérêt de l'introduction de ces vecteurs pour exprimer la variation d'une fonction de plusieurs paramètres est de visualiser le fait que la fonction va varier le plus dans la direction du vecteur gradient et que elle ne va pas varier pour tout changement des paramètres dans une direction perpendiculaire au gradient.

$(y\vec i +x \vec j )\cdot (dx\vec i+ dy \vec j)=0$ pour :

y d x + x d y = 0

dans notre exemple du rectangle.

Ceci donnera en électrostatique les courbes de même potentiel : les « équipotentielles ».

Le développement et l'utilisation du calcul infinitésimal a eu des conséquences importantes dans pratiquement tous les domaines. Il est à la base de beaucoup de sciences, notamment la physique. Presque toutes les techniques et technologies modernes font un usage fondamental du calcul infinitésimal.

Le calcul infinitésimal s'est étendu avec les équations différentielles, le calcul vectoriel, le calcul des variations, l'analyse complexe, ou la géométrie différentielle.

[modifier] Définition mathématique

Soit $\mathcal{U}$ un ouvert de $\mathbb{R}^n$ . Soit $f : \mathcal{U} \to \mathbb{R}$ une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ . Soit $a \in \mathcal{U}$ , alors $df \left( a \right)$ est une forme linéaire de $\left( \mathbb{R}^n \right)^{\star}$ .

Le gradient en a de f est alors l'unique élément de $\mathbb{R}^n$ , noté $\nabla f$ tel que :

$\forall \vec{h} \in \mathbb{R}^n \qquad df \left( a \right) \left( \vec{h} \right) = \left( \nabla f | \vec{h} \right)$ .

Ici, (•|•) désigne le produit scalaire.

Ainsi, le gradient de f au point a peut être écrit, dans la base canonique, sous la forme :

$\overrightarrow{\mathrm{grad}} f = \vec\nabla f = \begin{pmatrix} \frac{\partial f }{\partial x_1}\left( a \right) \\ \vdots \\ \frac{\partial f }{\partial x_p}\left( a \right) \end{pmatrix}.$

Lors d'un changement de base, au travers d'un $\mathcal{C}^1$ -difféomorphisme de $\mathbb{R}^n$ , l'expression du gradient est modifiée : par exemple si on utilise des coordonnées sphériques ou cylindriques.

[modifier] Relations vectorielles

En analyse vectorielle, le gradient peut être combiné à d'autres opérateurs. Soit f une fonction décrivant un champ scalaire, que l'on suppose de classe $\mathcal{C}^2$ par rapport à chaque paramètre, alors :

$\frac{ \partial }{\partial t} \left( \nabla f \right) = \nabla \frac{ \partial f }{\partial t}$ ;

$\mathrm{div} \left( \overrightarrow{\mathrm{grad}} f \right) = \Delta f$ ;

$\overrightarrow{\mathrm{grad}} \left( \mathrm{div} f \right) = \overrightarrow{\mathrm{rot}} \left( \overrightarrow{\mathrm{rot}} f \right) + \Delta f$ ;