梯度

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微积分学
微积分基础函数初等函数极限数列夹挤定理连续间断点一元微积分导数与微分高阶导数中值定理罗尔定理拉格朗日定理柯西定理泰勒公式洛必达法则导数的函数应用极值凹凸性曲率积分不定积分积分表三角函数积分表反函数积分表反双曲函数积分表对数函数积分表指数函数积分表无理函数积分表有理函数积分表定积分牛顿-莱布尼茨公式广义积分判别法柯西判别法阿贝尔判别法狄里克雷判别法主值柯西主值 β函数 Γ函数多元微积分多元函数微分多元函数偏导数隐函数全微分方向导数梯度泰勒公式多元函数积分重积分二重-三重-多重广义重积分曲线积分曲面积分格林公式高斯公式斯托克斯公式散度和旋度微分方程常微分方程差分方程拉普拉斯变化法微积分的应用微积分的几何应用平面图形的面积平面曲线的切线和弧长旋转体的体积旋转曲面的面积曲面的切平面和法线空间曲线的切线和法平面微积分的物理应用运动的位移、加速度力所做的功物质的质量静力矩、惯性矩和重心微积分的经济应用边际弹性、交叉弹性收益流的现值和将来值成本分析、净资产分析

上面两个图中，标量场是黑白的，黑色表示大的数值，而其相应的梯度用藍色箭头表示。

在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场。标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。更严格的说，从欧氏空间Rⁿ到R的函数的梯度是在Rⁿ某一点最佳的线性近似。在这个意义上，梯度是雅戈比矩阵的一个特殊情况。

在单变量的实值函数的情况，梯度只是导数，或者，对于一个线性函数，也就是线的斜率。

梯度一词有时用于斜度，也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度。可以通过取向量梯度和所研究的方向的点积来得到斜度。梯度的数值有时也被成为梯度。

[编辑] 梯度的解释

考虑一个温度由一个向量场 $φ$ 给出的房间，这样每一个点 $(x, y, z)$ 其温度是 $φ(x, y, z)$ 。我们将假设温度不随时间改变。然后，在房间的每一点，该点的梯度将显示变热最快的方向。梯度的大小将表示在该方向上变热的速度。

考虑一座高度在 $(x, y)$ 点是 $H (x, y)$ 的山。 $H$ 在一点的梯度是在该点坡度（或者说斜度）最陡的方向。梯度的大小告诉我们坡度到底有多陡。

梯度也可以告诉我们一个数量在不是最快变化方向的其他方向的变化速度。再次考虑山坡的例子。可以有条直接上山的路其坡度是最大的，则其坡度是梯度的大小。也可以有一条和上坡方向成一个角度的路，例如投影在水平面上是60°角。则，若最陡的坡度是40%，这条路的坡度小一点，是20%，也就是40%乘以60°的余弦。

这个现象可以如下数学的表示。山的高度函数 $H$ 的梯度点积一个单位向量给出了表面在该向量的方向上的斜率。这称为方向导数。

[编辑] 形式化定义

一个标量函数 $\varphi$ 的梯度记为：

$\nabla \varphi$

其中 $\nabla$ （nabla）表示向量微分算子del。 $\varphi$ 的梯度有时也写作grad( $\varphi$ )。

在三维情况，该表达式在直角坐标中扩展为

$\nabla \phi = \begin{pmatrix} {\frac{\partial \phi}{\partial x}}, {\frac{\partial \phi}{\partial y}}, {\frac{\partial \phi}{\partial z}} \end{pmatrix}$

（参看偏导数和向量。）

虽然使用坐标表达，但结果是在正交变换下不变，从几何的观点来看，这是应该的。

[编辑] 范例

函数 $\varphi=2x+3y^2-\sin(z)$ 的梯度为：

$\nabla \phi = \begin{pmatrix} {\frac{\partial \phi}{\partial x}}, {\frac{\partial \phi}{\partial y}}, {\frac{\partial \phi}{\partial z}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {2}, {6y}, {-\cos(z)} \end{pmatrix}.$