Groupe de Brauer

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En mathématiques, le groupe de Brauer provient d'une tentative pour classer les algèbres de division sur un corps K donné. C'est un groupe abélien avec comme éléments des classes d'algèbres de division sur K, tel que le centre est exactement K. Le groupe est nommé ainsi en l'honneur de l'algébriste Richard Brauer.

[modifier] Construction d'un groupe de Brauer

Une algèbre centrale simple, est une algèbre à dimension finie (associative) A, qui est un anneau simple, et pour lequel le centre est exactement K. Par exemple, les nombres complexes $\mathbb{C}\,$ forment une ACS sur eux-mêmes, mais pas sur $\mathbb{R}\,$ (le centre est $\mathbb{C}\,$ lui-même, par conséquence trop grand). C'est pourquoi les algèbres de division sur $\mathbb{R}\,$ ne sont pas 1-1 avec $Br(\mathbb{R}\,)$ .

Étant donné deux algèbres centrales simples de la sorte A et B, on définit un produit sur

$A\otimes B$

(pris comme des espaces vectoriels sur K) en utilisant la bilinéarité de la définition

$(a \otimes b) \cdot (c\otimes d) = ac\otimes bd.$

Ceci donne le produit tensoriel dans une K-algèbre.

Voir l’article produit tensoriel de R-algèbres.

Il s'avère que ceci est toujours central simple. Une manière lisse de voir ceci est d'utiliser une caractérisation : une algèbre centrale simple sur K est une K-algèbre qui devient un anneau matriciel lorsque nous étendons le corps des scalaires à une clôture algébrique de K.

Étant donnée cette propriété de clôture pour les ACS, elles forment un monoïde sous produit tensoriel. Pour obtenir un groupe, appliquons le théorème d'Artin-Wedderburn (la partie de Wedderburn, en fait), pour exprimer une ACS quelconque comme M(n,D), un anneau matriciel nxn sur une algèbre de divison D. Si nous regardons juste D, plutôt que la valeur de n, le monoïde devient un groupe. C'est à dire, si nous imposons une relation d'équivalence identifiant M(m,D) avec M(n,D) pour tous les entiers m et n à au moins 1, nous obtenons une relation de congruence; et les classes de congruence sont toutes inversibles, les classes inverses de cette algèbre A contenant l'algèbre opposée $A op$ .

[modifier] Exemples

Le groupe de Brauer pour un corps algébriquement clos ou un corps fini est le groupe trivial avec seulement l'élément neutre.

Le groupe de Brauer $Br(\mathbb{R})\,$ du corps des nombres réels $\mathbb{R}\,$ est un groupe cyclique d'ordre deux : il existe juste deux types d'algèbre de division, $\mathbb{R}\,$ et l'algèbre des quaternions $\mathbb{H}\,$ . Le produit dans le groupe de Brauer est basé sur le produit tensoriel : l'énoncé que $\mathbb{H}\,$ est d'ordre deux dans le groupe est équivalent à l'existence d'un isomorphisme de R-algèbres

$\mathbb{H} \otimes \mathbb{H} \cong M(4, \mathbb{R})$

d'algèbres à 16 dimensions, ou le coté droit de l'équation est l'anneau des matrices 4 x 4.

[modifier] Généralisation

Dans la théorie plus avancée, les groupes de Brauer de corps locaux sont calculés (ils deviennent tous canoniquement isomorphes à $\mathbb{Q} / \mathbb{Z}\,$ , pour les corps p-adiques); et les résultats appliqués aux corps globaux. Ceci donne une approche de la théorie des corps de classes. Ceci a été aussi appliqué aux équations diophantiennes. Plus précisément, le groupe de Brauer Br(K) d'un corps global K est donné par la suite exacte

$0\rightarrow Br(K)\rightarrow \oplus_p Br(K_p)\rightarrow \mathbb{Q} / \mathbb{Z} \rightarrow 0$

où la somme dans le milieu est sur toutes les complétions (archimédiennes et non-archimédiennes) de K. Le groupe $\mathbb{Q} / \mathbb{Z}\,$ sur la droite est réellement le "groupe de Brauer" de la formation de classes des classes d'idèles associées à K.

Dans la théorie générale, le groupe de Brauer est exprimé par les ensembles de facteurs; et exprimés en termes de cohomologie galoisienne via

$Br(K) \cong H^2(Gal(K^s/K), {K^s}^*).$

Ici, en ne supposant pas K, un corps parfait, K^s est la clôture séparable. Lorsque K est parfait, ceci est la même chose qu'une clôture algébrique; autrement, le groupe de Galois doit être défini en termes de K^s/K pair pour avoir un sens.

Une généralisation via la théorie des algèbres d'Azumaya a été introduite dans la géométrie algébrique par Grothendieck.

[modifier] Voir aussi

Algèbre centrale simple
Formation de classes

[modifier] Liens externes

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Catégories : Théorie des anneaux • Théorie algébrique des nombres

Groupe de Brauer

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Sommaire

[modifier] Construction d'un groupe de Brauer

[modifier] Exemples

[modifier] Généralisation

[modifier] Voir aussi

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