Théorème d'Artin-Wedderburn

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En mathématiques et plus particulièrement en algèbre le Théorème d'Artin-Wedderburn traite de la structure d'algèbre ou d'anneau semi-simple.

Il correspond au théorème fondamental des structures semi-simples et permet d'expliciter exactement leur nature. Elles correspondent à des produits d'algèbres des endomorphismes de modules sur des corps non nécessairement commutatifs.

Il est démontré une première fois dans le cadre des algèbre sur un corps commutatif par Joseph Wedderburn en 1907 puis généralisé par Emil Artin sur les anneaux pour trouver sa forme définitive en 1927.

Ce théorème est au coeur de plusieurs théories, on peut citer les représentations d'un groupe fini ou non, la théorie des anneaux où il permet par exemple de constuire des corps non commutatifs et encore celle des structures semi-simples en général.

Sommaire 1 Enoncés 2 Histoire 2.1 Origines 2.2 Théorie des groupes 2.3 Structure d'algèbre 2.4 Structure d'anneau 3 Applications 3.1 Algèbre semi-simple 3.2 Théorie des représentations d'un groupe fini 4 Démonstrations 4.1 Définitions 4.2 Démonstration de Burnside 4.3 Démonstration d'Artin 5 Notes et références 5.1 Références 5.2 Liens externes 5.3 Références

[modifier] Enoncés

Ce théorème a connu plusieurs versions au cours de son histoire, voici les trois principales :

La première version correspond au théorème de Burnside, elle ne traite que du cas d'une algèbre simple :

• Si E est un espace vectoriel de dimension finie, alors l'algèbre L_K(E) est simple.

Ce deuxième théorème correspond, en termes actuels au théorème de Wedderburn, il traite des algèbres sur un corps commutatif :

• Une algèbre semi-simple sur un corps commutatif K est isomorphe à un produit d'algèbres d'endomorphismes sur des sur-corps de K.

La troisième version s'exprime en terme d'anneau, elle porte maintenant le nom de théorème d'Artin-Wedderburn :

• Un anneau semi-simple tel que tout idéal simple est de dimension finie sur son corps d'endomorphismes, est isomorphe à un produit d'algèbres d'endomorphismes de modules sur des corps à priori distincts et gauches.

Les corps dont il est question ici sont à priori des corps gauches, c'est à dire non commutatifs.

L'article sur les algèbres semi-simples montre que la version d'Artin se généralise immédiatement aux algèbres.

[modifier] Histoire

[modifier] Origines

L'histoire du contexte mathématique du théorème d'Artin-Wedderburn est étroitement lié à celui de la relation entre l'algèbre linéaire et la théorie des groupes et celle des anneaux. Arthur Cayley (1821-1895) développe en 1850 la notion de matrice^[1]. Cette notion apporte de nombreux services dont l'un est à l'origine du théorème. Elle permet d'incarner des groupes et particulièrement les groupes de Galois et de les étudier sous un axe nouveau, celui d'un groupe de matrices. A l'origine seul le cas fini est étudié, l'analyse met en évidence une nouvelle structure, que l'on considère maintenant comme l'espace vectoriel des endomorphismes engendrés par les automorphismes du groupe. Elle apparaît à la fois comme un anneau et un module ayant pour anneau lui-même. Camille Jordan (1838-1922), le grand spécialiste de la théorie des groupes de l'époque avec Cayley, l'utilise intensivement. En 1869, elle lui permet de démontrer l'existence^[2] d'une chaîne de composition pour les groupes finis connue sous le nom de théorème de Jordan-Hölder. Le caractère d'unicité d'une telle chaîne est démontrée par Otto Hölder (1859-1937) vingt ans plus tard. Ce théorème possède deux lectures possibles, l'une sur les groupes finis, l'autre sur les modules. La deuxième lecture correspond à une propriété structurelle essentielle, elle est une des origines de l'intérêt pour ce qui deviendra une branche des mathématiques, l'algèbre commutative. L'analyse du groupe de Galois offre des perspectives aussi en algèbre linéaire. Elle amène Jordan à étudier endomorphisme en dimension fini à travers son algèbre et permet une compréhension aussi profonde que définitive des objects de cette nature. Ce résultat, est publié dans un livre de synthèse^[3] en 1870. Il est connu sous le nom de réduction de Jordan est réalisé sur un corps fini premier, c'est à dire un corps de cardinal un nombre premier.

Les conséquences des travaux de Jordan sont considérables, son livre de synthèse devient et la référence sur la théorie des groupes, celle de Galois (1811 1832) et l'algèbre linéaire. Il démontre d'une part que l'analyse des groupes à travers le groupe linéaire est une démarche féconde, d'autre part que la structure d'algèbre est riche d'enseignements à la fois en terme de module et d'algèbre linéaire.

[modifier] Théorie des groupes

La recherche de la compréhension des groupes devient un sujet majeur en mathématique. Par delà leur intérêt propre, la compréhension de cette structure est la clé de nombreux sujets. La théorie de Galois les place au coeur du problème de l'équation algébrique et les conséquences sont multiples, l'analyse des structures de corps s'identifie à cette époque à la théorie de Galois et la compréhension de nombreux anneaux, utiles en arithmétique s'appuie sur cette théorie. La géométrie ne fait rapidement plus exception. En 1870, deux mathématiciens Felix Klein (1849 1925) et Sophus Lie (1842 1899) visite Jordan à Paris. Ils sont particulièrement intéressés par une de ses publications^[4] vieille d'un an sur l'analyse d'une géométrie à l'aide d'un groupe de symétries. Sophus Lie développe une théorie des groupes continus et Klein, dans son fameux programme^[5] classifie les géométries à travers les groupes. Ils perdent leur caractère essentiellement fini.

Georg Frobenius (1849-1917), à la suite d'une correspondance^[6] avec Richard Dedekind (1831 1916) s'intéresse aux groupes finis et particulièrement à la notion de factorisation d'une représentation matricielle appelée à l'époque déterminant de groupe et maintenant tombé en désuétude. Ces lettres sont à l'origine de la théorie des représentations d'un groupe. En 1897 il saisit^[7] la proximité entre une représentation c'est à dire un groupe qui opère linéairement sur un espace vectoriel et un module, où un anneau opère sur l'espace. Le saut est franchi, le groupe est linéarisé et devient un module. Tout progrès sur les modules ayant une structure équivalente à celle d'une module sur un groupe est sujet à faire progresser la théorie des représentation et donc celle des groupes.

Heinrich Maschke (1853 1908), un élève de Klein, est le premier à démontrer le théorème^[8] qui détermine l'élément structurant de ce module. Il possède des analogies fortes avec les anneaux euclidiens comme celui des nombres entiers. Ils se décomposent en une série de modules simples qui correspondent un peu aux nombres premiers, à la différence qu'il n'en existe qu'un nombre fini. On parle maintenant de module semi-simple.

[modifier] Structure d'algèbre

Une structure apparaît de plus en plus centrale, celle d'algèbre associative. Dans le cas des représentations, elle correspond à faire opérer l'extension linéaire du groupe, non plus sur un espace vectoriel quelconque, mais sur lui-même. D'autres branches mathématiques amène naturellement à la définition de ce concept. Une extension galoisienne disposent naturellement d'une structure analogue et la théorie des corps suppose l'étude de ces objets. Enfin, les groupes continus développés par Lie disposent en chaque point d'un espace tangent équipé d'une structure d'algèbre associative. A l'aube du XX^e siècle, ce sujet devient majeur, des mathématiciens d'horizon divers étudient ce concept. Le théorème de décomposition des modules s'appliquent sur ces structures car elles disposent aussi d'une structure de module.

William Burnside (1852 1927) saisit immédiatement la portée de l'approche de Frobenius. L'importance de la structure de l'algèbre sous-jacente à un groupe linéaire ne lui échappe pas. Il établit dès 1897 dans la première édition^[9] de son livre de référence sur les groupe finis un premier résultat. Dans le cas où le corps est algébriquement clos l'ensemble des endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie est une algèbre simple. Un exemple des briques élémentaires est alors explicité.

Leonard Dickson (1874-1954) écrit en 1896 sa thèse de doctorat à propos les groupes de Galois comme des groupes linéaires sur des corps finis quelconques, généralisant ainsi les résultats de Jordan. Il démontre que tout corps fini commutatif est une extension de Galois d'un corps premier. Elle est publiée^[10] en Europe en 1901. La structure de base est celle d'une algèbre semi-simple. Si l'approche de Galois permet l'étude des corps commutatifs, ce n'est pas toujours le cas pour les algèbres semi-simples, Dickson développe la théorie des corps et trouve de nombreux exemples de corps gauches (non commutatifs). C'est à partir de cette période que les deux théories : celle de Galois et celle des corps commencent leur séparation.

Elie Cartan (1869-1951) s'intéresse dès sa thèse^[11]qu'il soutient en 1894 aux algèbres de Lie. Toutes les structures d'algèbres simples et semi-simples sur les complexes y sont traitées. Avec Joseph Wedderburn (1882 - 1948), il étudie la structure générique de ces algèbres. Cartan explicite la structure des algèbres semi-simples pour le cas des nombres complexes. En 1907 Wedderburn publie son article^[12] peut-être le plus célèbre. Il généralise les résultats de Cartan pour les algèbres sur un corps quelconque qu'on appelle à l'époque les nombres hypercomplexes. Cette généralisation est importante, car tous les exemples d'applications citées précédemment utilisent des corps gauches.

[modifier] Structure d'anneau

Le théorème de Wedderburn modifie la situation, il existe des corps naturels pour toute algèbre simple, même si ces corps sont à priori non commutatifs. Le théorème doit donc pouvoir s'exprimer en terme d'anneau. Si Wedderburn ne le fait pas, en 1908 il propose néanmoins une classification comportant d'une part les anneaux à radicaux et d'autre part les semi-simples. Cette décomposition^[13] devient la base de la théorie des anneaux pour le demi-siècle à venir. Emmy Noether est souvent considérée^[14] comme la mère de la théorie moderne des anneaux.

Une grande figure de la recherche dans ce domaine est Emmy Noether (1882 - 1935). Elle développe la théorie des anneaux non commutatifs et fonde^[15] une théorie générale des idéaux. Le concept d'idéal irréductible, correspondant à l'algèbre simple, est développée, ainsi que la théorie des anneaux dont toute chaîne ascendante strictement croissante d'idéaux est finie. Ces anneaux sont maintenant nommés en son honneur.

Emil Artin (1898 - 1962) étudie particulièrement un cas dont l'étude est initié par Noether, celui des anneaux dont toute chaîne descendante strictement décroissante d'idéaux est finie. Un anneau semi-simple de longueur finie est un anneau artinien et noethérien. En 1927 il trouve^[16] la forme définitive du théorème. Sans son formalisme linéaire, le théorème prend sa portée maximale, il devient un résultat important de l'algèbre non commutative. Une large classe d'anneaux, est isomorphe à un produit d'algèbres associative sur des corps quelconques.

Si le théorème est définitif, un de des attributs reste ouvert. Quel classe d'anneaux autres que ceux à la fois artiniens et noethériens satisfont le théorème ? Un premier élément de réponse est apporté en 1939. C. Hopkins démontre^[17] que, seule la condition sur la chaîne descendante est nécessaire. La véritable percée^[18] est néanmoins l'oeuvre de N. jacobson, qui trouve la condition. Elle porte sur la notion de radical, maintenant essentiel pour l'étude des anneaux semi-simples.

[modifier] Applications

[modifier] Algèbre semi-simple

[modifier] Théorie des représentations d'un groupe fini

Les algèbres semi-simples sont, avec les caractères, les deux piliers de la théorie des représentations des groupes finis. Son application provient d'un résultat basique, si un groupe fini G est linéairisé, c'est à dire considéré comme une base d'un espace vectoriel sur un corps K, alors la structure obtenue est celle d'une algèbre. Sa loi multiplicative est la suivante :

Le caractère associatif d'une telle algèbre est évident et le théorème de Maschke démontre la semi-simplicité.

Une bonne partie des résultats élémentaires de la théorie correspondent à une application directe du théorème. Par exemple toute représentation est somme directe de représentations irréductibles, ce qui se démontre par exemple en remarquant que toute algèbre semi-simple est somme directe d'algèbres simples. Une application immédiate du théorème est que la structure précédente, appelée algèbre du groupe et notée K[G] contient toutes les représentations irréductibles. Il suffit pour s'en rendre compte de prolonger la représentation à K[G]. Le théorème d'Artin-Wedderburn démontre de manière immédiate que la représentation régulière, c'est à dire celle qui fait opérer G sur l'espace vectoriel sur K du groupe linéarisé contient autant de copies d'une représentation irréductible en somme directe que la dimension de la représentation.

Néanmoins, tous les résultats cités précédemment se démontrent sans l'adjonction de la machinerie que représente l'algèbre associative. Une approche par les caractères est aussi efficace. Ce sont les analyses plus sophistiquées qui rendent obligatoire l'utilisation de la structure d'algèbre semi-simple. Un premier exemple est donné par l'arithmétique. Le centre d'une représentation irréductible, c'est à dire correspondant à un module simple est un corps commutatif. Il contient donc des entiers algèbriques et une approche par la théorie algébrique des nombres devient riche en enseignement. Une démarche de cette nature est utilisée pour démontrer que toute représentation irréductible possède une dimension qui divise l'ordre du groupe, la démonstration est donnée au paragraphe Entier algébrique de l'article Algèbre d'un groupe fini.

Enfin, dans le cas où l'ordre du groupe divise la caractéristique du corps, une approche directe par les caractères se révèle inefficace. Dans ce cas, l'algèbre n'est pas non plus semi-simple. Cependant, une approche par les radicaux de Jacobson permet d'expliciter la structure.

L'exemple choisi ici est celui de la représentation des groupes finis, le cas des groupes de Lie n'est pas différent, il utilise encore largement ce théorème. C'est cette raison qui conduisit Elie Cartan à le démontrer dans le cas des complexes.

[modifier] Démonstrations

[modifier] Définitions

Tout au long de ce paragraphe, les notations suivantes sont utilisées : K désigne corps commutatif, L une algèbre sur K et E un espace vectoriel sur K. Plusieurs définitions sont utilisées pour exprimer le théorème.

L'algèbre L est aussi un module sur l'anneau L. Ses sous-modules sur L ne disposent plus de la notion de dimension, car la structure d'espace vectoriel est absente sous cet angle. Elle est remplacée par la définition suivante :

• La longueur d'un module L, est la borne supérieure de l'ensemble des entiers n telle qu'il existe une suite strictement croissante au sens de l'inclusion de sous A-modules de L.

On suppose ici que L en tant que L module est semi-simple, ce qui correspond à la définition suivante :

• Soit S un sous-module de L, F est dit facteur direct si et seulement si F admet un sous-module supplémentaire.

Comme L opère à droite et à gauche sur le module, un sous-module est un idéal bilatère.

• Un module L est dit semi-simple si et seulement si tout sous-module est facteur direct.

Une telle algèbre est dite semi-simple. Sa structure, en tant que module est connue :

• Si le module L semi-simple, alors il est somme directe de ses composantes isotypiques.

Ici, (S_i) désigne une famille maximale au sens de l'inclustion de sous-modules non isomorphes deux à deux et α_i le nombre de copies de S_i dans sa composante isotypique. Avec les définitions suivantes :

• Un sous-module S du module L est dit simple si et seulement si il ne contient pas d'autres sous-modules que lui-même et l'ensemble nul.
• La composante isotypique du sous-module S dans L est le sous-module engendré par tous les sous-modules de L isomorphe à S.

Dans tout le paragraphe concernant les démonstrations, les composantes isotypiques sont notés S_i, leur nombre n, leur degré de multiplicité α_i, et D_i désigne l'opposé du corps des endomorphismes de S_i en tant que L module. On rappelle la définition suivante :

• L'anneau opposé de A est l'anneau noté ici A^op muni de la multiplication définie par :

[modifier] Démonstration de Burnside

• Si E est un espace vectoriel de dimension finie, alors l'algèbre L_K(E) est simple.

Soit f un endomorphisme non nul, montrons que le plus petit idéal bilataire contenant f est l'algèbre entière. Il existe un élément e₁ de E à l'extérieur du noyau de f, car sinon f serait nul se qui n'est pas le cas. Notons a l'image de e₁ par f. Le théorème de la base incomplète montre qu'il existe une famille (e_i) tel que l'ensemble des indices contient 1 et qui est une base de E. Soit h₁ l'application linéaire qui associe le vecteur nul à tout les vecteurs de la base sauf à e₁ qui a pour image lui-même. Soit h₂ une application ayant pour image de a e₁. Alors la composition g = h₂ o f o h₁ a est un projecteur sur e₁ parallèlement à l'espace vectoriel engendré par les autres vecteurs de la base, de plus g est un élément de l'idéal contenant f. Soit p_i l'application linéaire nulle sur la base sauf sur e_i qui à pour image e₁. Soit q_j une application linéaire tel que l'image de e₁ est égale à e_j. Alors q_j o g p_i est une famille de l'idéal engendré par f. Cette famille est génératrice de L(E), ce qui termine la démonstration.

Cette démonstration s'applique aussi dans le cas des modules sur un corps gauche. Ce cas est important car, dans le cas des algèbres semi-simples, il établit la réciproque du théorème d'Artin-Wedderburn.

[modifier] Démonstration d'Artin

Le théorème de Wedderburn est clairement un cas particulier de celui d'Artin. La démonstration d'Artin étant relativement simple, uniquement celle-ci est donnée dans cet article.

• Si L est semi-simple et si toute composante isotypique est de dimension finie sur son corps d'endomorphismes, alors la composante isotypique de S_i est isomorphe à l'ensemble des endomorphismes d'un module de dimension α_i sur le corps D_i, et L est isomorphe à la somme directe de ces algèbre d'endomorphismes.

Remarque : parler de dimension d'un module fait ici sens car le module possède pour anneau un corps. Cette structure n'est néanmoins pas celle d'un espace vectoriel, car le corps est à priori gauche.

Démontrons tout d'abord le lemme suivant :

• L'ensemble des endomorphismes de L est isomorphe à la somme directe des ensembles des endomorphismes des composantes isotypiques.

Il est clair que la somme directe est incluse dans l'ensemble des endomorphismes de L.

Réciproquement, le paragraphe Décomposition canonique de l'article Module semi-simple montre que tout sous-module simple de la composante isotypique de S_i est isomorphe à S_i. Le lemme de Schur assure qu'il n'existe pas de morphisme autre que le morphisme nul entre deux modules simple non isomorphes. En conséquence le seul morphisme entre la composante isotypique de S_i et S_j si i et j sont différents sont les morphismes nuls, ce qui termine la démonstration de ce lemme.

Démontrons ensuite le lemme suivant :

• L'opposé de l'anneau des endomorphismes de la composante isotypique de S_i est isomorphe à l'ensemble des endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension α_i sur le corps D_i^op.

Le raisonnement est analogue à celui du lemme précédent. Si S_ij pour j variant de 1 à α_i désigne une décomposition en somme directe de la composante isotypique de S_i, alors chaque facteur S_ij est isomorphe à S_i. L'ensemble des endormorphismes de la composante isoptypique est donc isomorphe à l'ensemble des matrices à coefficients dans l'ensemble des endomorphismes du module S_i. L'ensemble des coefficients est un corps (non nécessairement commutatif) dont l'opposé est D_i (cf Décomposition canonique de l'article Module semi-simple). L'isomorphisme canonique entre l'ensemble des matrices carrées de dimension α_i et l'ensemble des endomorphismes sur un espace vectoriel de dimension α_i termine la démonstration du deuxième lemme.

Pour conclure, il suffit alors de remarquer que l'opposé de L est isomorphe à l'ensemble des endomorphismes de L.

[modifier] Notes et références

Articles sur les Représentations d'un groupe d'ordre fini

Représentations d'un groupe fini | Théorie des représentations | Théorème de Maschke | Caractère | Lemme de Schur | Représentation régulière | Fonction centrale | Produit tensoriel | Algèbre d'un groupe fini | Représentation induite | Réciprocité de Frobenius | Critère d'irréductibilité de Mackey | Groupe symétrique d'ordre trois | Groupe symétrique d'ordre quatre | Groupe des quaternions

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Articles de mathématiques en rapport avec l'algèbre commutative

Algèbre | Anneau commutatif | Anneau euclidien | Anneau factoriel | Anneau noethérien | Anneau principal | Annulateur | Bimodule | Corps des fractions | Dual d'un module | Facteur direct | Idéal | Longueur d'un module | Module | Module fidèle | Module libre | Module monogène | Module quotient | Module semi-simple | Produit tensoriel | Puissance extérieure

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[modifier] Références

[modifier] Liens externes

• (fr) Théorie des algèbres simples J.P. Serre Séminaire Henri Cartan
• (fr) Algèbre commutative A. Chambert-Loir
• (en) Finite group representation for the pure mathematician Peter Webb
• (fr) Théorie des algèbres semi-simples P. Cartier Séminaire Sophus Lie
• (fr) Quelques applications des algèbres de matrices à la théorie des corps non commutatifs Erwan Biland
• (en) Références historiques Par le site de l'université de St Andew

[modifier] Références

• Serge Lang, Algèbre [détail des éditions]
• N. Bourbaki, Algèbre commutative Chapitre VIII et IX Masson 1983
• Artin Nesbitt Thrall Rings with minimum condition. Ann Arbor, Univ. of Michigan Press, 1948
• S. Lang and J. T. Tate E. Artin The collected papers of Emil Artin Reading, Mass.-London 1965
• P. Webb S. Priddy J. Carlson Group Representations, Cohomology, Group Actions, and Topology University of Wisconsin, Madison 1998