Hypocycloïde
Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
 |
Cet article est une ébauche à compléter concernant les mathématiques, vous pouvez partager vos connaissances en le modifiant. |
Une hypocycloïde est une courbe plane transcendante, trajectoire d'un point fixé à un cercle qui roule sans glisser sur un autre cercle dit directeur et à l'intérieur de celui-ci. Il s'agit donc d'un cas particulier de cycloïde à centre, qui est une catégorie de courbe cycloïdale.
Sommaire[masquer] |
[modifier] Étymologie et histoire
Le mot est une extension de cycloïde, inventé en 1599 par Galilée, et a la même étymologie : il vient du grec hupo (sous), kuklos (cercle, roue) et eidos (forme, « semblable à »).
La courbe elle-même fut étudiée par Albrecht Durer en 1525, Rømer en 1674 (qui la baptisa) et Daniel Bernoulli en 1725.
[modifier] Définition mathématique
Une hypocycloïde peut être définie par l'équation paramétrique suivante :
où 
est le rayon du cercle de base et 
celui du cercle roulant. Avec 
, cette équation peut donc également s'écrire :
![x(\theta) = r \left[(q-1) \cos \theta + \cos (q-1) \theta \right] \,](../../../math/d/6/5/d652b66bc44d5eb0e25c98e8fee4ec94.png)
![y(\theta) = r \left[(q-1) \sin \theta - \sin (q-1) \theta \right]\,](../../../math/2/5/6/256276750acbebca346d29e06c196d7d.png)
[modifier] Propriétés
La courbe est formée d'arcs isométriques (appelés arches) séparés par des points de rebroussements. Si q est rationnel (et peut donc s'écrire q=a/b où a et b sont des entiers), a représente le nombre d'arches de la courbe. On peut aussi voir ces deux grandeurs de la manière suivante :
- a représente le nombre de rotations du cercle roulant nécessaires pour ramener le point mobile à sa position de départ,
- b représente le nombre de tours du cercle de base nécessaires au cercle roulant pour revenir au point de départ.
Les points de rebroussements sont obtenus pour 
. La longueur d'une arche est de 
.
Si q est entier, la longueur totale de la courbe vaut 
fois la longueur du cercle de base, et l'aire totale vaut 
fois celle du cercle de base.
Le théorème de la double génération prouve qu'une hypocycloïde est aussi une péricycloïde, c'est-à -dire la courbe décrite par un point d'un cercle de rayon r+R roulant sans glisser sur ce cercle directeur en le contenant.
Les petites oscillations du pendule de Foucault forment également une hypocycloïde.
[modifier] Voir aussi
- Lorsque le point mobile n'est pas fixé sur le cercle roulant mais à l'extérieur ou à l'intérieur de celui-ci on parle alors d'hypotrochoïde, qui est un cas particulier de trochoïde. D'ailleurs, si vous avez cru reconnaître les dessins réalisés avec un spirographe dans les illustrations ci-dessus, vous ne vous êtes pas beaucoup trompé : cet appareil réalise des hypotrochoïdes et non des hypocycloïdes.
- Lorsque le cercle mobile tourne à l'extérieur du cercle directeur, la courbe ainsi dessinée s'appelle alors épicycloïde.
- Si R = 2r, l'hypocycloïde est un diamètre du cercle de base (voir le théorème de La Hire).
- Si R = 3r, l'hypocycloïde est une deltoïde. On obtient une figure identique si R = 3/2 x r. Dans ce cas, il s'agit également de l'enveloppe du diamètre du cercle roulant.
- Si R = 4r, l'hypocycloïde est une astroïde. On obtient une figure identique si R = 4/3 x r. Dans ce cas, il s'agit également de l'enveloppe du segment de longueur constante R dont les extrémités décrivent les axes d'un repère orthonormé.
[modifier] Liens externes
- Sur le site MathCurve.com
- Une Applet qui permet de jouer avec les paramètres de construction d'une hypocycloïde
| Exemples de courbes | |||
| Conique dont Cercle - Ellipse- Parabole - Hyperbole | |||
| Cardioïde - - Cissoïde - Clothoïde - --Cycloïde - Épicycloïde - Hypocycloïde (Astroïde, Deltoïde)
- Hypotrochoïde - Spirale (dont Spirale logarithmique, Spirale d'Archimède) - Hélice |
|||
| Lemniscate (dont Lemniscate de Gerono, Lemniscate de Booth, Lemniscate logarithmique, Courbe du diable) | |||
| Trajectoire - Ovale de Cassini - Chaînette - Courbe brachistochrone | |||
| Accéder au portail de la géométrie | |||
