Ligne de niveau

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Soit f une fonction à valeurs réelles. On appelle ligne de niveau l'ensemble

{ (x₁,...,x_n) | f(x₁,...,x_n) = c }

avec c une constante. C'est en fait le sous-ensemble de l'ensemble de définition sur lequel f prend une valeur donnée.

[modifier] Lien avec le gradient

Considérons une fonction f dont le graphe ressemble à une montagne. Les courbes bleues représentent alors les courbes de niveau. Les courbes rouges suient la direction du gradient.

Théorème : Le gradient de f est perpendiculaire en tout point à la ligne de niveau de f en ce point.

Il s'agit d'un résultat important. Pour mieux le comprendre, imaginons que 2 randonneurs sont à la même position sur une montagne. Le premier est téméraire et décide de prendre la direction de la plus forte pente. Le second étant plus prudent, et ne désirant pas dégringoler, il décide de suivre le chemin qui lui permttra de garder la même attitude. Avec cette analogie, le théorème ci-dessus nous informe qu'au départ, les 2 randonneurs suivront des chemins perpendiculaires.

Preuve : Soit x₀ un point. La ligne de niveau passant par x₀ est {x | f(x) = f(x₀)}. Considérons alors une courbe x(t) de cette ligne de niveau passant x₀, et supposons que x(0) = x₀. Nous avons alors:

$f({\mathbf x}(t)) = f({\mathbf x_0}) = c.$

Si nous dérivons maintenant cette relation en t = 0 en utilisant la règle de dérivation en chaîne, nous trouvons

$J_f({\mathbf x_0}) {\mathbf x}'(0)=0.$

De manière équivalente, le Jacobien de f en x₀ est le gradient en x₀

$\nabla f({\mathbf x}_0) \cdot {\mathbf x}'(0)=0.$

Par conséquence, le gradient de f en x₀ est perpendiculaire à la tangente en x′(0) à la courbe (et à la ligne de niveau) en ce point. Comme la courbe x(t) est choisie arbitrairement, il vient que la gradient est perpendiculaire à la ligne de niveau.

Une conséquence de ce théorème est que si une ligne de niveau se recoupe (de manière plus précise, n'est pas une variété ou une hypersurface différentiable) alors le gredient doit s'annuler en tous les points d'intersection. Ainsi, tous les points d'intersection seront des points critiques de f.