Logique modale

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La logique modale est une logique à laquelle on a ajouté des modificateurs, qu’on pourrait comprendre en grammaire comme des adverbes.

Par exemple, on peut modifier la proposition « Il pleut » comme ceci :

Il est possible qu’il pleuve,
Il est démontré qu’il est faux qu’il pleuve,
Il n’est pas permis qu’il pleuve,
Alice sait qu’il pleut.

Cette proposition peut donc être respectivement modifiée avec les modes possible, démontré que ne pas, n’est pas permis, Alice sait.

[modifier] Différentes logiques modales

Il existe plusieurs types de logiques modales, dont les modes sont :

classiques (ou aristotéliciens) :
- nécessaire, noté $\Box$
- contingent, noté $\neg \Box$
- possible, noté $\Diamond$
- impossible, noté $\neg \Diamond$
épistémiques (relatifs à la connaissance) :
- connu par l'agent $i$ , noté $K i$
- contestable
- exclu
- plausible
- connaissance commune du groupe $G$ d'agents, notée $C G$
déontiques (moraux) :
- obligatoire, noté O
- interdit, noté I
- permis, noté P
- facultatif, noté F
temporels
- toujours, noté $\Box$
- un jour, noté $\Diamond$
- jamais, noté $\neg \Diamond$
- demain, noté X
- jusqu'à ce que, opérateur binaire noté U
- désormais, noté G
- un jour futur, noté F
- toujours dans le passé, noté H
- un jour passé, noté P
Doxastique (sur les croyances)
- cru, noté B
Contrefactuelle
- Si A était vrai, où l'on sait que A n'est pas vrai.
Linéaire (fondement du calcul des séquents dûe à Jean-Yves Girard, pour régler la duplication des ressources en logique)
- bien sûr noté !
- pourquoi pas noté ?.
Dynamique (effet d'actions, notées a, sur des propositions)
- peut-être après a, noté $\langle a\rangle$
- sûrement après a, noté $[a]$ .

[modifier] Logique modale classique

En logique modale classique, nous pouvons exprimer les quatre opérateurs à l’aide d’un seul (ici la nécessité) et de la négation. Ainsi:

impossible est $\square \neg$
possible est $\neg \square \neg$

Une proposition nécessaire ne peut pas être fausse sans impliquer de contradiction, a contrario d’une proposition contingente qui peut impliquer une contradiction.

La logique intuitionniste peut être construite sur la logique classique comme une logique modale.

[modifier] Axiomes de logique modale

Chaque logique modale vient avec une série d'axiomes qui sont supposés refléter le sens de la modalité. Une logique modale est dite normale ou de Kripke si et seulement si elle admet

1) la règle d'inférence de nécessitation:

Si A est un théorème, alors $\Box A$ aussi.

2) l'axiome de distribution de Kripke:

$\Box(A\supset B) \supset( (\Box A)\supset(\Box B))$

Certaines d'entre elles admettent les axiomes:

D: $\Box P \supset \Diamond P$ soit la nécessité implique la possibilité
T: $P \supset \Diamond P$ soit le fait implique la possibilité"

[modifier] Modèles de la logique modale

Les modèles de Kripke, ou modèles de mondes possibles, donnent une sémantique aux logiques modales. Notons $W$ l'ensemble des monde possible et $R$ une relation binaire entre les mondes possibles appelée relation d'acessibilité. Une valuation $v$ affecte à chaque variable propositionelle une valeur de vérité et ce pour chaque monde possible. $v (A, w)$ dénote le valeur de vérité de la proposition $A$ dans le monde $w$ .

La sémantique d'un opérateur modal est définit à partir d'une relation d'acessibilité de la façon suivante :

$v(\square A,w)\ \mathrm{ssi}\ v(A,w^') \mathrm{\ tel\ que\ } w^'Rw$