Loi de Cauchy
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La loi de Cauchy, appelée aussi loi de Lorentz est une loi de probabilité courante qui doit son nom au mathématicien Augustin Louis Cauchy.
Une variable aléatoire X suit une loi de Cauchy si elle admet une densité continue fX par rapport à la mesure de Lebesgue, où :
dépendant des deux paramètres x0 et a
Cette distribution est symétrique par rapport à x0, le paramètre a donne lui une information sur l'étalement de la fonction.
[modifier] Espérance et écart type
La loi de Cauchy n'admet ni espérance ni écart type. En effet,
n'est pas intégrable selon les critères de Lebesgue
car 
(à l'infini) d'où la divergence de l'intégrale : l'espérance n'existe pas.
A fortiori, la loi de Cauchy n'admet pas d'écart type (
diverge).
Cependant, x0 est souvent considéré comme la "moyenne" de la loi de Cauchy, car :
[modifier] Loi de Cauchy et théorèmes limite
La loi de Cauchy est un des rares cas où la Loi des grands nombres ne s'applique pas. Elle nous montre ainsi que la condition de l'espérance définie selon l'intégrale de Lebesgue est indispensable à l'application de la loi. On remarque que les valeurs moyennes s'approchent de xo mais il arrive toujours un moment où une valeur trop éloignée "empêche" la moyenne de converger. La probabilités d'obtenir des valeurs éloignées de x0 est en fait trop élevée pour permettre à la moyenne empirique de converger.
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