Распределение Коши

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

**Распределение Коши**
Плотность вероятности Зелёная кривая соответствует стандартному распределению Коши
Функция распределения Цвета находятся в соответствии с графиком выше
Параметры	$x_0\!$ - коэффициент сдвига $\gamma > 0\!$ - коэффициент масштаба
Носитель	$x \in (-\infty; +\infty)\!$
Плотность вероятности	$\frac{1}{\pi\gamma\,\left[1 + \left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)^2\right]} \!$
Функция распределения	$\frac{1}{\pi} \mathrm{arctg}\left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)+\frac{1}{2}$
Математическое ожидание	(не определено)
Медиана	$x 0$
Мода	$x 0$
Дисперсия	(не определена)
Коэффициент асимметрии	(не определён)
Коэффициент эксцесса	(не определён)
Информационная энтропия	$\ln(4\,\pi\,\gamma)\!$
Производящая функция моментов	(не определена)
Характеристическая функция	$\exp(x_0\,i\,t-\gamma\,\|t\|)\!$

Распределе́ние Коши́ в теории вероятностей (также называемое в физике распределе́нием Ло́ренца) — класс абсолютно непрерывных распределений. Случайная величина, имеющая распределение Коши, является стандартным примером величины, не имеющей математического ожидания и дисперсии.

[править] Определение

Пусть распределение случайной величины $X$ задаётся плотностью $f X (x)$ , имеющей вид:

$f_X(x) = \frac{1}{\pi\gamma \left[1 + \left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)^2\right]} = { 1 \over \pi } \left[ { \gamma \over (x - x_0)^2 + \gamma^2 } \right]$ ,

где

$x_0 \in \mathbb{R}$ — параметр сдвига;
$γ > 0$ — параметр масштаба.

Тогда говорят, что $X$ имеет распределение Коши и пишут $X ˜C(x 0,γ)$ . Если $x 0 = 0$ и $γ = 1$ , то такое распределение называется станда́ртным распределением Коши.

[править] Функция распределения

Функция распределения Коши имеет вид:

$F_X(x) = \frac{1}{\pi} \mathrm{arctg}\left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)+\frac{1}{2}$ .

Она строго возрастает и имеет обратную функцию:

$F^{-1}_X(x) = x_0 + \gamma\,\mathrm{tg}\left[\pi\,\left(x-{1 \over 2}\right)\right].$

Это позволяет генерировать выборку из распределения Коши с помощью метода обратного преобразования.

[править] Моменты

Так как интеграл Лебега

$\int\limits_{-\infty}^{\infty} x^{\alpha}\, f_X(x)\, dx$

не определён для $\alpha \ge 1$ , ни математическое ожидание, ни дисперсия, ни моменты старших порядков этого распределения не определены. Иногда говорят, что математическое ожидание не определено, а дисперсия бесконечна.

[править] Другие свойства

Распределение Коши бесконечно делимо.
Распределение Коши устойчиво. В частности, выборочное среднее выборки из стандартного распределения Коши само имеет стандартное распределение Коши: если $X_1,\ldots, X_n \sim \mathrm{C}(0,1)$ , то

$\bar{X} = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n X_i \sim \mathrm{C}(0,1)$ .

[править] Связь с другими распределениями

Если $U \sim U[0,1]$ , то

$x_0 + \gamma\,\mathrm{tg}\left[\pi\,\left(U-{1 \over 2}\right)\right] \sim \mathrm{C}(x_0,\gamma)$ .

Если $X 1, X 2$ — независимые нормальные случайные величины, такие что $X_i \sim \mathrm{N}(0,1),\; i=1,2$ , то

$\frac{X_1}{X_2} \sim \mathrm{C}(0,1)$ .

Стандартное распределение Коши является частным случаем распределения Стьюдента:

$\mathrm{C}(0,1) \equiv \mathrm{t}(1)$ .

	Вероятностные распределения
	Одномерные	Многомерные
Дискретные:	Бернулли \| биномиальное \| геометрическое \| гипергеометрическое \| логарифмическое \| отрицательное биномиальное \| Пуассона \| равномерное	мультиномиальное
Абсолютно непрерывные:	Бета \| Вейбулла \| Гамма \| Колмогорова \| Коши \| логнормальное \| Лоренца \| нормальное \| равномерное \| Парето \| Стьюдента \| Фишера \| хи-квадрат \| экспоненциальное \| Эрланга	многомерное нормальное