Nombre de Reynolds

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Le nombre de Reynolds caractérise un écoulement, et en particulier la nature de son régime (laminaire, transitoire, turbulent etc. …). Il représente le rapport entre forces d'inertie et forces visqueuses ou le rapport (qualitatif) du transfert par convection par le transfert par diffusion de la quantité de mouvement. Il est le plus important nombre sans dimension en dynamique des fluides. Il a été mis en évidence en 1883 par Osborne Reynolds. Il s'énonce généralement de la façon suivante :

$Re = { \rho v_{s} D\over \eta}$

ou bien

$Re = {v_{s} D\over \nu} \; .$

avec (les unités S.I. sont entre crochets) :

v_s - vitesse du fluide [m/s],
D - dimension caractéristique [m] du phénomène (diamètre pour une conduite de section circulaire, dimension jugée la plus pertinente pour une conduite ou un obstacle de forme quelconque, abscisse depuis le bord d'attaque pour une plaque plane). Le plus souvent, diamètre hydraulique.
ρ - masse volumique du fluide [kg/m³],
η - viscosité dynamique du fluide [Pa.s],
ν - viscosité cinématique du fluide : ν = η/ρ [m²/s].

En magnétohydrodynamique il est aussi possible de définir un nombre de Reynolds: le nombre de Reynolds magnétique.

[modifier] Interprétation du nombre de Reynolds

Le nombre de Reynolds peut s'écrire de la manière suivante :

$Re = {{\rho v_{s}^2\over D}\over {\eta v_{s}\over D^2}}$ , Il s'interprète alors comme le rapport entre forces d'inertie et forces visqueuses.

On distingue trois principaux régimes.

Aux faibles valeurs du Reynolds (inférieures à 1), les forces de viscosité sont prépondérantes, l'accélération convective étant négligée. On parle d'écoulement de Stokes. L'écoulement est laminaire (des éléments de fluide voisins demeurent voisins). De plus, comme l'inertie est négligeable, l'écoulement du fluide est réversible. Cela donne lieu à des comportements surprenants : si les forces extérieures sont soudainement stoppées, le fluide s'arrête immédiatement. Qui plus est, si les forces extérieures sont inversées, le fluide repart en sens inverse: dans une célèbre expérience de G.I.Taylor, une goutte d'encre, intialement mélangée dans un fluide visqueux, se reconstitue lorsqu'on a inversé le mouvement.
Aux valeurs intermédiaires du Reynolds (entre 1 et 2000 environ), les forces d'inertie sont prépondérantes, mais l'écoulement reste laminaire. Cependant, il n'est plus réversible: si l'on stoppe les forces extérieures, le fluide continue partiellement sur sa lancée.
Aux fortes valeurs du Reynolds (au-delà d'environ 2000, voir plus haut), les forces d'inertie sont si importantes que l'écoulement devient turbulent. Entre les régimes laminaire et turbulent, on parle de régime transitoire.

[modifier] Exemples

Dans une conduite, l'écoulement est laminaire lorsque le nombre de Reynolds est inférieur à une valeur critique pour laquelle se produit une transition assez brutale vers le turbulent. 2300 est la valeur généralement retenue pour cette transition mais, dans des conditions soignées (paroi particulièrement lisse, stabilité de la vitesse), la transition peut se produire pour une valeur plus élevée. On considère souvent que la transition peut se produire entre 2000 et 3000.

Sur un cylindre à section circulaire placé dans un écoulement, on obtient un écoulement proprement laminaire qui s'ajuste parfaitement à l'obstacle jusqu'à un nombre de Reynolds de l'ordre de 1 ; un sillage turbulent apparaît à l'aval aux environs de 10⁵. Entre les deux, la transition se fait à travers diverses formes de sillages tourbillonnaires.

Avec une plaque plane située dans le lit de l'écoulement, la dimension caractéristique n'est plus l'épaisseur de celle-ci mais la distance d'un point au bord d'attaque. En effet une couche limite, dans laquelle interviennent la viscosité ou la turbulence, se développe à partir du bord d'attaque. Si celui-ci présente une arête émoussée, la couche limite est turbulente dès le début. Dans le cas d'un bord effilé, la couche limite est d'abord laminaire. Ce caractère laminaire se maintient jusqu'à la distance qui correspond au Reynolds critique de l'ordre de 5.10⁵, la zone située au delà développant une couche limite turbulente.

[modifier] En médecine

Les modifications de régime d'écoulement entraînées par la compression d'une artère, en règle l'artère humérale, lors de la prise de la pression artérielle sont responsables d'un bruit (« bruits de Korotkoff ») et permettent, par l'auscultation de l'artère en aval de la compression, de connaitre la pression systolique -apparition du bruit-, et la pression diastolique -disparition du bruit.

[modifier] La similitude des fluides

Deux écoulements à géométrie équivalente pour lesquels les nombres de Reynolds sont égaux sont dits semblables. Pour qu'une expérience de modèle réduit d'un écoulement donne bien un écoulement semblable (c'est-à-dire identique à changements d'échelles de temps, de distance et de masse près) à l'écoulement en grandeur nature, il faut que :

$Re^{\star} = Re \; , \quad\quad {p^{\star}\over \rho^{\star} {v^{\star}}^{2}} = {p\over \rho v^{2}} \; .$

Les valeurs marquées d'une astérisque « * » font référence à l'écoulement dans le modèle réduit et les autres valeurs à l'écoulement en grandeur nature. Ceci est utile pour les expériences sur les modèles réduits en veine liquide ou en tunnel aérodynamique où on récupère les données pour les écoulements en grandeur réelle. Il est à noter que, pour les fluides compressibles, les nombres de Mach doivent aussi être égaux pour les deux fluides afin qu'ils puissent être considérés comme équivalents. De manière générale, il faut que les nombres sans dimension caractéristiques de l'écoulement soient identiques dans les deux écoulements.