Observabilité

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On considérera dans cet article les systèmes linéaires invariants (SLI) définis par la représentation d'état suivante :

$\begin{cases} \dot X = A X + B U \\ Y = C X + D U \end{cases}$

Un système est dit observable si l'observation de ses entrées et sorties pendant un intervalle de temps fini $[t i; t f]$ permet de retrouver l'état initial $x (t i)$ . En fait, puisqu'il est possible pour les SLI d'avoir une solution analytique, l'observabilité est donc une propriété intéressante qui nous permet d'affirmer que l'on peut connaître l'état $x (t)$ à tout instant compris dans l'intervalle $[t i; t f]$ .

Sommaire

1 Système diagonal
2 Critère de Kalman pour l'observabilité des systèmes linéaires invariants
3 Dualité observabilité / commandabilité
4 Détectabilité
5 Forme canonique pour l'observabilité
6 Voir aussi

[modifier] Système diagonal

Soit un système décrit par la représentation d'état $\begin{cases} \dot X = A X + B U \\ Y = C X \end{cases}$ avec A une matrice diagonale. Ce système est observable si et seulement si tous les éléments de la matrice C sont non nuls.

[modifier] Critère de Kalman pour l'observabilité des systèmes linéaires invariants

Dans un cas plus général, le système est observable si et seulement si :

$rang(\mathcal{O}) = rang\begin{bmatrix}C\\ CA\\ ...\\ CA^{n-1}\end{bmatrix} = n$

La matrice $\mathcal{O}$ est appelée la matrice d'observabilité, et ses lignes se calculent facilement de façon itérative : $C A k + 1 = C A k * A$ .

[modifier] Dualité observabilité / commandabilité

Il existe un principe de dualité entre l'observabilité et la commandabilité : soient deux systèmes :

$S : \begin{cases}\dot X = AX+BU \\ Y=CX\end{cases} S^* : \begin{cases}\dot X^* = A^TX^*+C^TU^* \\ Y^*=B^TX^*\end{cases}$

$S$ est observable si et seulement si $S *$ est commandable
$S$ est commandable si et seulement si $S *$ est observable
Un système à la fois commandable et observable est dit minimal.

[modifier] Détectabilité

L'observabilité est une propriété structurelle forte du système. Il est souvent suffisant d'utiliser la propriété de détectabilité. Cette dernière propriété peut se définir de plusieurs façons équivalentes, un système est dit détectable ssi :

Ses pôles non observables sont stables.
Il existe une matrice de gain d'observateur d'état $K$ tel que la matrice $(A - K C)$ soit Hurtwitz.

[modifier] Forme canonique pour l'observabilité

Il est souvent intéressant de séparer les variables d'état observables des autres. Notons $χ$ la partition observable du vecteur d'état, et $ξ$ le reste du vecteur d'état, non observable. Le système s'écrit alors :

$\begin{bmatrix} \dot \chi \\ \dot \xi \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_{11} & 0 \\ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \chi \\ \xi \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} B_1 \\ B_2 \end{bmatrix}U$

$y = \begin{bmatrix} C_1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \chi \\ \xi \end{bmatrix}$

La forme canonique pour la commandabilité est caractérisée par l'absence des termes $A 12$ et $C 2$ qui sont donc nuls. Sous cette forme, le système est alors détectable ssi la matrice $A 22$ est Hurtwitz.