Opérateur différentiel

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Un opérateur différentiel est un opérateur agissant sur des fonctions différentiables.

Lorsque la fonction est à une seule variable, l'opérateur différentiel est construit à partir des dérivées ordinaires.

Lorsque la fonction est à plusieurs variables, l'opérateur différentiel est construit à partir des dérivées partielles.

[modifier] Notations

Soit $Ω$ un ouvert de $\mathbb{R}^n$ , et $x$ un point de $Ω$ . On introduit les $n$ coordonnées $x^k, \ k = 1, \dots , \ n$ . Supposons que l'on ait une fonction des $n$ variables : $x k$ .

[modifier] Dérivées du premier d'ordre

Pour simplifier les écritures, on note usuellement la dérivée partielle première par rapport à la coordonnée $x k$ par le symbole :

$\partial_k \ = \ \frac{\partial ~~}{\partial x^k}$

On est également amené à introduire l'opérateur différentiel $D k$ du premier ordre défini par :

$D_k \ = \ - \ i \ \partial_k \ = \ - \ i \ \frac{\partial ~~}{\partial x^k}$

Dans cette définition, $i$ est la « racine de l'unité » complexe : $i^2 \ = \ - \, 1$ . L'intérêt de définir cet opérateur $D k$ apparaitra plus tard, en relation avec la transformée de Fourier.

On utilise les notations sous forme de multi-indices : un multi-indice α est un n-uplet d'entiers

$\alpha \ = \ \left( \alpha_1, \ \dots, \ \alpha_n \right) \ ; \quad \ \alpha_k \, \in \, \mathbb{N}$

Sa longueur $| α |$ est définie comme la somme des $α i$ et on définit enfin la multi-factorielle :

$\alpha \, ! \ = \ \prod_{k=1}^n ( \, \alpha_k \, ! \, ) \ = \ \alpha_1 \, ! \ \times \ \dots \ \times \ \alpha_n \, !$

[modifier] Dérivées d'ordres plus élevés

La dérivée partielle d'ordre $α k$ par rapport à la coordonnée $x k$ correspond au symbole :

$\partial^{\alpha_k}_k$

La dérivée partielle d'ordre global $| α |$ est alors notée :

$\partial^{\alpha} \ = \ \partial^{\alpha_1}_1 \ \dots \ \partial^{\alpha_n}_n$

L'opérateur différentiel $D α$ d'ordre global $| α |$ correspond alors au symbole :

$D^{\alpha} \ = \ D^{\alpha_1}_1 \ \dots \ D^{\alpha_n}_n$

[modifier] Définition d'un opérateur différentiel

[modifier] Définition

Un opérateur différentiel linéaire d'ordre $m$ est défini par :

$\mathfrak{D} \ = \ \sum_{|\alpha| = 0}^m \ a_{\alpha}(x) \ D^{\alpha}$

où les $a α (x)$ sont des fonctions de $n$ variables, appelées coefficents de l'opérateur $\mathfrak{D}$ .

[modifier] Propriété de localité

Un opérateur différentiel $\mathfrak{D}$ est local au sens où, pour déterminer ses effets $\mathfrak{D} \, f(x)$ sur une fonction $f (x)$ suffisamment différentiable, seule la connaissance de la fonction dans le voisinage du point $x$ est nécessaire.

[modifier] Transformée de Fourier

[modifier] Introduction de la transformée de Fourier

On définit ici la transformée de Fourier de la fonction $f (x)$ de $n$ variables $x^k, \ k = 1, \dots , \ n$ par :

$\hat{f}(\xi) \ = \ \int dx \ e^{- \, i \, \xi \, x} \ f(x)$

Dans cette définition :

on note $ξ$ le $n$ -uplet constitué des variables : $\xi_k, \ k = 1, \dots , \ n$ .

la mesure est : $dx = \prod_{k=1}^{n} dx^k$ .

le facteur $\xi \, x$ dans l'exponentielle oscillante désigne le produit scalaire : $\xi \, x = \sum_{k=1}^{n} x^k \, \xi_k$ .

La formule de transformation inverse s'écrit alors :

$f(x) \ = \ \int d \tilde{\xi} \ e^{+ \, i \, \xi \, x} \ \hat{f}(\xi)$

où la mesure est : $d \tilde{\xi} \ = \ \frac{d \xi}{(2\pi)^n} \quad$ avec : $d\xi = \prod_{k=1}^{n} d\xi_k$ .

[modifier] Application aux opérateurs différentiels

Appliquons l'opérateur différentiel $D_k = - \, i \, \partial_k$ à la représentation de Fourier de la fonction $f (x)$ . En supposant qu'on puisse intervertir la dérivation et l'intégration, on obtient :

$D_k \, f(x) \ = \ \int d \tilde{\xi} \ \left( \ - \ i \ \partial_k \ e^{+ \, i \, \xi \, x} \ \right) \ \hat{f}(\xi) \ = \ \int d \tilde{\xi} \ e^{+ \, i \, \xi \, x} \ \xi_k \ \hat{f}(\xi)$

qu'on peut écrire : $(\widehat{D_k \, f})(\xi) = \xi_k \ \hat{f}(\xi)$ . On en déduit que :

$(\widehat{D^{\alpha} \, f})(\xi) \ = \ \xi^{\alpha} \ \hat{f}(\xi)$

où : $\xi^{\alpha} = \xi_1^{\alpha_1} \ \times \ \dots \ \times \ \xi_n^{\alpha_n}$ . L'opérateur différentiel $\mathfrak{D}$ d'ordre $m$ vérifie donc la relation :

$(\mathfrak{D} \,f)(x) \ = \ \sum_{|\alpha| = 0}^m \ a_{\alpha}(x) \ \int d \tilde{\xi} \ e^{+ \, i \, \xi \, x} \ \xi^{\alpha} \ \hat{f}(\xi)$

On peut intervertir la somme et l'intégrale pour écrire :

$(\mathfrak{D} \,f)(x) \ = \ \int d \tilde{\xi} \ e^{+ \, i \, \xi \, x} \ \left( \ \sum_{|\alpha| = 0}^m \ a_{\alpha}(x) \ \xi^{\alpha} \ \right) \ \hat{f}(\xi)$

[modifier] Symbole d'un opérateur différentiel

On appelle symbole de l'opérateur différentiel $\mathfrak{D}$ d'ordre $m$ la fonction $σ(x,ξ)$ des $2 n$ variables $(x,ξ)$ polynomiale en $ξ$ de degré $m$ :

$\sigma (x,\xi) = \sum_{|\alpha| = 0}^m \ a_{\alpha}(x) \ \xi^{\alpha}$

de telle sorte que :

$(\mathfrak{D} \,f)(x) \ = \ \int d \tilde{\xi} \ e^{+ \, i \, \xi \, x} \ \sigma (x,\xi) \ \hat{f}(\xi)$

On constate que cette formule pourrait en fait permettre de définir l'opérateur $\mathfrak{D}$ à partir de son symbole $σ$ . Cette idée sera mise à profit dans la théorie des opérateurs pseudo-différentiels.

Attention : pour un opérateur différentiel dont les coefficients $a α (x)$ ne sont pas constants, le symbole $σ(x,ξ)$ dépend des coordonnées d'espace $x$ , et l'expression $\sigma(x,\xi) \, \hat{f}(\xi)$ n'est pas la transformée de Fourier de $(\mathfrak{D} \, f)(x)$ , c'est à dire que :

$(\widehat{\mathfrak{D} \, f})(\xi) \ \ne \ \sigma (x,\xi) \ \hat{f}(\xi)$

La formule correcte de la transformée de Fourier est calculée dans le paragraphe 7 intitulé « cas général ».

[modifier] Symbole principal d'un opérateur différentiel

On appelle symbole principal de l'opérateur différentiel $\mathfrak{D}$ d'ordre $m$ la fonction :

$\sigma_m (x,\xi) = \sum_{|\alpha| = m} \ a_{\alpha}(x) \ \xi^{\alpha}$

[modifier] Classification des opérateurs différentiels

[modifier] Opérateur elliptique

L'opérateur différentiel $\mathfrak{D}$ est dit elliptique au point $x \ \in \ \Omega$ si et seulement si :

$\forall \ \xi \ \in \ \mathbb{R}^n \backslash_{0} \ , \quad \sigma_m (x, \xi) \ \ne \ 0$

$\mathfrak{D}$ est dit elliptique dans $Ω$ s'il est elliptique pour tout point $x \ \in \ \Omega$ .

[modifier] Opérateur hyperbolique

L'opérateur différentiel $\mathfrak{D}$ est dit hyperbolique dans la direction $η$ au point $x \ \in \ \Omega$ si et seulement si : $\sigma_m (x, \eta) \ne 0$ et si, pout tout $ξ$ non colinéaire à $η$ , les racines $λ i$ de l'équation :

$\sigma_m (x, \ \xi \ + \ \lambda \, \eta) \ = \ 0$

sont toutes réelles. Si, de plus, les $m$ racines réelles sont toutes disctinctes, l'opérateur $\mathfrak{D}$ est dit strictement hyperbolique dans la direction $η$ .

$\mathfrak{D}$ est dit (strictement) hyperbolique dans la direction $η$ dans $Ω$ s'il est strictement) hyperbolique dans la direction $η$ pour tout point $x \ \in \ \Omega$ .

[modifier] Exemples importants pour la physique théorique

La physique théorique fait un usage abondant de trois opérateurs d'ordre 2 :

[modifier] Opérateur Laplacien

L'opérateur laplacien est un opérateur elliptique, qui s'écrit :

en coordonnées cartésiennes dans $\mathbb{R}^n$ :

$\Delta \ = \ \sum_{k=1}^n \ \frac{\partial^2 ~~}{\partial x_k^2}$

soit en coordonnées cartésiennes tridimensionnelles:

$\Delta \ = \ \frac{\partial^2 ~~}{\partial x^2} \ + \ \frac{\partial^2 ~~}{\partial y^2} \ + \ \frac{\partial^2 ~~}{\partial z^2}$

Cet opérateur est notamment utilisé en mécanique newtonienne, en électromagnétisme, et en mécanique quantique non relativiste.

[modifier] Opérateur d'Alembertien

L'opérateur d'Alembertien est un opérateur hyperbolique, qui s'écrit en coordonnées cartésiennes $(x, t)$ dans $\mathbb{R}^{n+1}$ :

$\Box \ = \ \frac{1}{c^2} \ \frac{\partial^2 ~~}{\partial t^2} \ - \ \Delta$

où $Δ$ est le Laplacien à $n$ variables d'espace, $t$ est le temps, et $c$ une constante positive, homogène à une vitesse. Cet opérateur est utilisé pour décrire la propagation des ondes à la vitesse $c$ dans l'espace-temps. Il est notamment utilisé en acoustique, en électromagnétisme, et en théorie quantique des champs.

[modifier] Opérateur de la chaleur

L'opérateur de la chaleur, qui s'écrit en coordonnées cartésiennes $(x, t)$ dans $\mathbb{R}^{n+1}$ :

$\frac{\partial ~}{\partial t} \ - \ \tilde{D} \ \Delta$

où $Δ$ est le Laplacien à $n$ variables d'espace, $t$ est le temps, et $\tilde{D}$ est ici une constante, appelée coefficient de diffusion. Cet opérateur est dit parabolique. Voir aussi : équation de la chaleur.

[modifier] Opérateur différentiel à coefficients constants

Si les coefficients $a α$ sont indépendants des $n$ variables d'espace $x k$ , le symbole de l'opérateur différentiel $\mathfrak{D}$ d'ordre $m$ est seulement une fonction $σ(ξ)$ des $n$ variables $ξ$ polynomiale en $ξ$ :

$\sigma (\xi) = \sum_{|\alpha| = 0}^m \ a_{\alpha} \ \xi^{\alpha}$

de telle sorte que :

$(\widehat{\mathfrak{D} \, f})(\xi) \ = \ \sigma (\xi) \ \hat{f}(\xi)$

Le symbole principal de l'opérateur différentiel $\mathfrak{D}$ d'ordre $m$ à coefficients constants est la fonction des $n$ variables $ξ$ :

$\sigma_m (\xi) = \sum_{|\alpha| = m} \ a_{\alpha} \ \xi^{\alpha}$

[modifier] Cas général

On a vu que plus haut :

$(\mathfrak{D} \,f)(x) \ = \ \int d \tilde{\xi} \ e^{+ \, i \, \xi \, x} \ \sigma (x,\xi) \ \hat{f}(\xi)$

Pour un opérateur différentiel dont les coefficients $a α (x)$ ne sont pas constants, le symbole $σ(x,ξ)$ dépend des coordonnées d'espace $x$ , et on a :

$(\widehat{\mathfrak{D} \, f})(\xi) \ \ne \ \sigma (x,\xi) \ \hat{f}(\xi)$

[modifier] Expression de la transformée de Fourier

Partons de la relation générale :

$(\mathfrak{D} \,f)(x) \ = \ \sum_{|\alpha| = 0}^m \ a_{\alpha}(x) \ \int d \tilde{\xi} \ e^{+ \, i \, \xi \, x} \ \xi^{\alpha} \ \hat{f}(\xi)$

Si l'on introduit la transformée de Fourier des coefficients :

$a_{\alpha}(x) \ = \ \int d \tilde{\eta} \ e^{+ \, i \, \eta \, x} \ \hat{a}_{\alpha}(\eta)$

on obtient :

$(\mathfrak{D} \,f)(x) \ = \ \sum_{|\alpha| = 0}^m \ \int d \tilde{\eta} \ e^{+ \, i \, \eta \, x} \ \hat{a}_{\alpha}(\eta) \ \times \ \int d \tilde{\xi} \ e^{+ \, i \, \xi \, x} \ \xi^{\alpha} \ \hat{f}(\xi)$

soit :

$(\mathfrak{D} \,f)(x) \ = \ \sum_{|\alpha| = 0}^m \ \int d \tilde{\eta} \ \int d \tilde{\xi} \ e^{+ \, i \, (\xi + \eta ) \, x} \ \hat{a}_{\alpha}(\eta) \ \xi^{\alpha} \ \hat{f}(\xi)$

A $ξ$ fixé, on fait le changement de variable : $\eta \ \to \ t = \xi + \eta$ , ce qui donne :

$(\mathfrak{D} \,f)(x) \ = \ \sum_{|\alpha| = 0}^m \ \int d \tilde{t} \ e^{+ \, i \, t \, x} \ \int d \tilde{\xi} \ \hat{a}_{\alpha}(t - \xi) \ \xi^{\alpha} \ \hat{f}(\xi)$

On reconnait le produit de convolution :

$\left( \, \hat{a}_{\alpha} \ * \ \xi^{\alpha} \ \hat{f} \, \right)(t) \ = \ \int d \tilde{\xi} \ \hat{a}_{\alpha}(t - \xi) \ \xi^{\alpha} \ \hat{f}(\xi)$

d'où :

$(\mathfrak{D} \,f)(x) \ = \ \sum_{|\alpha| = 0}^m \ \int d \tilde{t} \ e^{+ \, i \, t \, x} \ \left( \, \hat{a}_{\alpha} \ * \ \xi^{\alpha} \ \hat{f} \, \right)(t)$

qu'on peut réécrire :

$(\widehat{\mathfrak{D} \, f})(\xi) \ = \ \sum_{|\alpha| = 0}^m \ \left( \, \hat{a}_{\alpha} \ * \ \xi^{\alpha} \ \hat{f} \, \right)(\xi )$

[modifier] Bibliographie

Lars Hörmander ; The analysis of linear partial differential operators, Springer-Verlag (1983 à 1985). Traité de référence en quatre volumes, par le récipiendaire de la médaille Fields 1962. Le volume I est sous-titré : Distribution theory and Fourier analysis, et le volume II : Differential operators with constant coefficients. Les volumes III et IV sont consacrés à la théorie moderne via les opérateurs pseudo-différentiels.

Lars Hörmander ; Linear Partial Differential Operators, Springer-Verlag (1963). Le livre qui contient les travaux pour lesquels l'auteur a obtenu la médaille Fields en 1962.

Yu.V. Egorov & M.A. Shubin ; Foundations of the Classical Theory of Partial Differential Equations, Springer-Verlag (2ème édition - 1998), ISBN 3-540-63825-3. Premier volume d'une série qui en comporte neuf, écrits pour l' Encylopaedia of Mathematical Sciences. Les volumes suivants sont consacrés à la théorie moderne via les opérateurs pseudo-différentiels.

Michael E. Taylor ; Partial Differential Equations - Basic Theory, Series: Texts in Applied Mathematics, Vol. 23, Springer-Verlag (2ème édition - 1999), ISBN 0-387-94654-3. Premier volume d'une série qui en comporte trois. Les volumes suivants sont consacrés à la théorie moderne via les opérateurs pseudo-différentiels.

[modifier] Voir aussi

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