Wikipédia:Proposition articles de qualité/Nombre réel

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[modifier] Nombre réel

Proposé par : HB 3 février 2006 à 15:19 (CET)

Rares sont les articles de maths promus "article de qualité". Celui-ci semble remplir les conditions requises. Article complet avec développement historique et contenu mathématique conséquent; Bibliographie très riche. Il reste peut-être encore des fautes d'orthographe à corriger. HB 3 février 2006 à 15:19 (CET)

[modifier] Votes

Format : Pour ou Contre, motivation éventuelle (indispensable pour les contre), signature

[modifier] Pour

1.  Pour a priori, si aucun matheux n'a de remarques à faire.--Aliesin 6 février 2006 à 14:15 (CET)
2.  Pour l'article est vraiment très bon. Selenite 7 février 2006 à 19:22 (CET)
3.  Pour Très bien présenté, il m'a l'air complet, même si l'avis d'un expert est requis. Traroth | @ 8 février 2006 à 11:46 (CET)
4.  Pour il m'a l'air très bon cet article, avec des explications claires pour les profanes et des démonstrations bien rédigées pour ceux qui veulent aller plus loin. CommeCeci 9 février 2006 à 14:22 (CET)
5.  Pour L'idée des boîtes déroulantes est excellentes : les grandes lignes du principe sont ainsi facilement accessible aux néophytes. Et les démonstrations sont claires, seul le style pêche parfois... Wart dark ψ 9 février 2006 à 17:36 (CET)
6.  Pour, Je trouve que l’article est très bien fait. Il est vraiment accessible a tout les niveaux. En effet, a un niveau élémentaires la « définition donné dans l’introduction est accessible, puis la suite permet de mieux comprendre le concept par l’exemple (comme c’est généralement présenté en maths). Puis l’article nous emmène sans que l’on s’en rende compte (quitte a laisser quelques petite exemples), vers un niveau d’abstraction beaucoup plus élevé… comme cela c’est passé historiquement en maths, et nous emmène a la fin de l’article vers des préoccupations assez contemporaine. Ainsi chacun peu se plonger dedans et en sortire quand il veux, et ne laissera presque personne aussi ignorant au début qu’à la fin. Enfin je pense que le niveau de rigueur exigible est amplement suffisant(même si certaines démonstration pourrait être légèrement embellie (cela nuirai peu être a la compréhension ?)).Antoinetav 11 février 2006 à 14:48 (CET)
7.  Pour J'aime la présentation historique (et celles-ci en général, pour les mathématiques). Certaines sections gagneraient à aussi être exprimées plus informellement, mais somme toute, je suis pour. Gene.arboit 14 février 2006 à 06:37 (CET)
8.  Pour Pour toutes les raisons ci-dessus. Clément Cordaro - discuter 17 février 2006 à 19:07 (CET)
9.  Pour Car cet article, que je viens de découvrir, peut être un point d'entrée vers d'autres notions comme le Nombre d'Or, les Nombres complexes, les Nombres transcendants, etc. --Claudius 18 février 2006 à 15:17 (CET)
10.  Pour --Mbzt 19 février 2006 à 21:11 (CET)
11.  Pour -- Excellent article v_atekor 20 février 2006 à 11:47 (CET)

     Pour pour toutes les raisons ci-dessus Co 23 février 2006 à 22:36 (CET) compte créé après cette page de vote David Berardan 4 mars 2006 à 10:36 (CET)

12.  Pour -- Excellent article Colas 24 février 2006 à 22:24 (CET)
13.  Pour -- semble mériter la distinction Peter17 24 février 2006 à 23:53 (CET)
14.  Pour -- Bien que j'aie tout compris (à moins que j'aie cru tout comprendre ? ) ... et j'aime la présentation originale Gérard 26 février 2006 à 22:29 (CET)
15.  Pour car la présentation est claire, originale, richement illustrée et satisfait le néophyte et le feru de math Bouette 1 mars 2006 à 16:57 (CET)
16.  Pour -- Cependant il aurait été appréciable de parler un minimum des hyperréels (histoire de faire le lien), même s'il existe un autre article qui traite de ce sujet... JujuTh 2 mars 2006 à 18:18 (CET)
17.  Pour. Très instructif. Moez ^m'écrire 15 mars 2006 à 18:48 (CET)
18.  Pour. -- Il me semble qu'il existe trois famille de critiques l'irrégularité l'orientation mathématique et non physique et le style non encyclopédique. L'article est probablement lu par un public varié, c'est pourquoi j'ai développé différentes parties qui requiert des niveaux scientifiques différents, c'est ce qui justifie à mon sens un niveau hétérogène. En conséquence pour certain, l'article est de niveau trop faible (vulgarisation) niveau terminal et pour d'autre il faut une thèse de mathématique fondamentale pour le comprendre. Ce n'est pas forcément un défaut. La formalisation est orienté Bourbaki, le traitement est essentiellement mathématique et peu physique, cependant la physique moderne n'a que faire des nombres réels et de leur problématique pour une représentation du monde, les rationels ou les décimaux sont largement suffisants. Les nombres réels sont avant tout une problématique mathématique à mon sens. Le détail manquant sur l'indécidabilité n'en n'est pas un à mon sens. Par construction, toute proposition indécidable est vrai ou fausse pour la base axiomatique adéquate. Si je n'ai pas cité ce théorème c'est qu'il me semble plus à même de figurer dans un article de logique que dans un article sur les nombres réels. Enfin, il n'est pas de style encyclopédique, c'est plus une affaire de goût et je ne me prononcerais donc pas dessus. Jean-Luc W 19 mars 2006 à 00:42 (CET)
19.  Pour. Un des meilleurs articles que j'ai pu lire sur wikipédia. Oxyde 20 mars 2006 à 21:00 (CET)
20.  Pour Enormissime pour un article de mathématique. Raiz3n "Le soleil se lève, le soleil se couche, et la vie continue" 25 mars 2006 à 19:54 (CET)

[modifier] Contre

1.  Contre, je suis désolé de briser cette belle chaîne de "pour". Cet article est probablement un bel article de maths, mais à mon avis, ce n'est pas un article encyclopédique. Richement illustré, avec une mise en page astucieuse, il présente néamoins de profonds défauts de fond et de forme. Dans le désordre (et certainement pas exhaustivement) :
   • Le titre me met mal à l'aise. Le titre est "Nombre réel", mais l'article pourrait très bien s'appeller "histoire des nombres réels" ; je ne pense pas que ce soit une bonne idée de couvrir une sous-partie d'un concept dans un article au nom générique
   • Le plan me met aussi mal à l'aise. L'avantage, c'est qu'on "progresse" avec l'histoire des idées. L'inconvénient, c'est que si on ne sait pas ce que c'est qu'un nombre réel, bah on a appris tout un tas de trucs un peu mélangés, des trucs vrais, des trucs faux, et puis... faut faire le tri, quoi.
   • L'article s'adresse à des gens qui connaissent par coeur le concept de nombre réel. Je suis loin d'être une quiche en maths, et franchement, le niveau de technicité de certains paragraphes fait froid dans le dos. Plus troublant: certains passages triviaux sont détaillés à souhait (par exemple l'histoire de racine de 2), d'autres sont incompréhensibles si l'on n'a pas une thèse en maths fondamentales; l'article n'est pas vraiment homogène.
   • L'article est beaucoup trop tourné vers les maths à mon goût. Dans la vie de tous les jours, les nombres réels ne sont pas l'unique corps commutatif archimédien complet (sic!) : on utilise le concept (certes, déformé) en informatique, en économie, etc. "Papa, c'est quoi un nombre réel? C'est l'unique corps commutatif archimédien complet, mon petit. Va voir sur Wikipédia si tu veux en comprendre plus." Vous pensez vraiment que cet article est destiné au lecteur?
   • Les maths sont peut-être le domaine le plus difficile à vulgariser. Mais ce n'est pas une raison pour abandonner l'espoir décrire des articles compréhensibles; ou alors, ils seront toujours relégués au fin fond de l'encyclopédie. Il faut plus que de la rigueur pour passer article de qualité. Arnaudus 11 février 2006 à 09:06 (CET)
2.  Contre Globalement l'article est de bonne qualité. Toutefois, il comporte quelques imperfections. Par exemple, il est dit que l'hypothèse du continu est indécidable. Il manque un détail important: l'hypothèse du continu est indécidable dans ZFC. En tant que physicien je tends à ne pas aimer l'approche formaliste des mathématiques (et non de la mathématique, désolé) et pour moi un ensemble d'axiomes ne présente aucun intérêt s'il contredit le monde physique dans lequel nous vivons. Je trouve l'article trop bourbakiste à mon goût. En plus, l'article ne fait aucune mention de l'analyse nonstandard et des nombres hyperréels. À mon avis, la construction des nombres réels ex nihilo présente peu d'intérêt. Avec une bonne connaissance de l'algèbre commutative et de la topologie générale, l'existence de est claire. Ceci n'est pas dit. Je suis aussi d'accord que l'article devrait s'intituler Histoire des nombres réels. Toute technicité devrait alors être bannie. Par contre un article séparé pour discuter plus profondément des fondements du concept de nombre réel devrait être envisagé. Un tel article pourrait alors être technique et requérir une bonne connaissance des notions de base des mathématiques. Malosse 22 février 2006 à 21:05 (CET)
3.  Contre. Article très irrégulier ; après l'avoir lu, je me demande encore quel est son sujet et son but. Je suppose que c'est censé être un article de simple vulgarisation, (« les nombres réels peuvent très informellement être conçus comme » en introduction, « Les nombres réels dans la vie de tous les jours » pour première section), mais alors il devrait être renommé Nombre réel (vulgarisation). Le contenu actuel laisse profondément sur sa faim, et si on exclut les paragraphes sur la clôture algébrique et la cardinalité, on a l'impression de se retrouver dans un manuel scolaire de terminale. Cela m'amène à penser que cet article a plus sa place sur Wikibooks que sur Wikipédia, son intérêt strictement encyclopédique n'étant pas évident. Mise en page déplaisante. Bibi Saint-Pol (sprechen) 4 mars 2006 à 13:13 (CET)
4.  Contre. Le style n'est pas encyclopédique : que signifie « les nombres entiers, pour aller au troisième étage d'un immeuble ; » ? Plus grave, la section « En science » contient des contre-sens flagrants : pour un physicien, « évaluer le périmètre de la partie visible de l'Univers à partir de son rayon avec une précision équivalente à la taille d'un atome d'hydrogène » n'a aucun sens. Dire que la constante magnétique est intrinsèquement un réel est absurde puisque ce n'est pas une grandeur sans dimension. Prétendre que toutes les grandeurs physiques sont réelles est faux, à moins de prendre cette affirmation comme définition de grandeur physique. R 7 mars 2006 à 17:33 (CET)
   • PS : Un article intitulé « Nombre réel » doit traiter, sans nécessairement rentrer dans les détails (dans ce cas cela me semble impossible), de tous les aspects pertinents au sujet des nombres réels. Il me semble donc qu'il devrait y avoir une section sur la construction des nombres réels, qui résume l'article Construction des nombres réels. Surtout, il n'y a pas de section « Philosophie », alors que celle-ci a pas mal de choses à dire sur la question (cf [1]). R 7 mars 2006 à 18:19 (CET)

   Le problème étant que si on vulgarise au sens de Arnaudus (pour qui la section a été ajoutée suite à son vote plus haut) on tombe précisément dans toutes les contradictions qui ont mis plusieurs millénaires à être levées. v_atekor

   • Je n'aurais qu'une seule remarque : La critique est aisée, l'art est difficile --Claudius 25 mars 2006 à 20:41 (CET)
   • Puisque l'échéance arrive, je précise que même s'il y a eu pas mal d'améliorations, l'article ne me semble pas encore tout à fait au point. R 3 avril 2006 à 20:31 (CEST)

[modifier] Discussions

[modifier] Réponse à Arnaudus

Ce que tu reproches à l'article est justement ce qui fait son intérêt et sa gageure: présenter le concept de nombre réel de manière à ce que tous puissent en retirer quelquechose

• Dis papa qu'est-ce qu'un nombre réel ? Réponse c'est un nombre associé à une longueur.

On se serait arrêté là, tout le monde aurait dit

• "on n'est pas des bébés, c'est une encyclopédie que diable. Apprenez nous ce qu'est un nombre réel"

L'article poursuit, et il est taxé d'ésotérique.

Tu trouves l'article non homogène: notre public n'est pas homogène. Mais l'article est-il progressif ?

Tu dis que l'article pourrait s'appeler histoire des nombres réels mais en réalité il comporte deux grands chapitres Histoire (qui était censé vulgariser le concept) et Définition axiomatique (pour les spécialistes). Seulement il semble que le second chapitre te fasse froid dans le dos.

Plus grave, tu dis que l'on apprend des trucs vrais et des trucs faux. Là, c'est une critique constructive. S'il y a des trucs faux, il faut les corriger. Peux-tu être plus précis.

Maintenant, si ton avis prévaut, il n'y aura je pense aucun article de mathématiques capable d'accéder au statut d'article de qualité (on peut vivre sans...)

Amicalement HB 11 février 2006 à 10:31 (CET)

Dans l'ordre :

• "l'article n'est pas homogène": ça n'a rien à voir avec l'homogénétité du public; celui qui commence l'article va essayer de le terminer, normalement. Si je comprends bien, c'est une sorte de sport : tu lis jusqu'à ce que tu décroches, et paf : tu as battu un record ("ouaiiis, j'ai réussi à aller jusqu'à la ligne 34 de l'article sur Wikipédia!". J'ai du mal à comprendre comment un article qui est fait pour ne pas être compris jusqu'au bout puisse être article de qualité.
• "histoire = vulgarisation du concept" (et puis on va parler des trucs "faux" en même temps). Je n'ai lu l'article qu'une fois, et voici l'impression que m'a donné cette partie : "lui, il a dit ça. mais en fait, c'est faux. Alors l'autre il a rajouté ça, et puis les indiens aussi, mais c'était toujours pas juste, mais bon, pour eux c'était suffisant. Et puis après y'a eu Newton, et là, il a fait des trucs mieux, mais c'était toujours pas ça. Enfin, on a découvert la vérité ultime, il suffisait de dire que les réels étaient l'unique corps commutatif archimédien complet". Ce n'est que mon avis, mais pour moi, cette présentation est séduisante pour celui qui sait ce qu'est un réel, et qui s'amuse à faire de l'histoire des sciences. Mais pour celui qui ne sait pas, elle est terriblement dangereuse, parce que des concepts différents sont assimilés, puis dissociés. Je ne trouve pas ça très pédagogique.
• il n'y aura je pense aucun article de mathématiques capable d'accéder au statut d'article de qualité, pour moi, si, c'est possible. Il n'y a qu'à aller voir l'homologue anglais, qui est trop court pour être AdQ, mais qui est compréhensible [[2]]. C'est un article fait pour être compris (et jusqu'au bout), et ce n'est pas, je pense, le cas de l'article francophone. Enfin, mon avis n'a pas à prévaloir, il n'est que mon avis, mais je pense qu'il représente les gens qui nont parcouru l'article et qui se sont dit "ouhla, je suis trop con pour comprendre ça". Pour moi, c'est juste parce que les auteurs n'ont pas fait l'effort de se mettre au niveau du lecteur. Arnaudus

Merci de ta réponse. Je suis rassurée que les choses fausses concernent l'histoire des idées et pas des affirmations fausses dans l'article. Cependant je ne vois pas comment améliorer l'article en tenant compte de tes remarques. Les mathématiques aboutissent toujours à un niveau d'abstraction tel que beaucoup finissent par décrocher. Ce n'est pas un jeu dans lequel il faut battre le record de celui qui ira le plus loin mais une tentative de satisfaire la curiosité de tous (de l'amateur jusqu'au connaisseur) en étant le plus exhaustif possible. Enfin, il n'y a pas UN niveau du lecteur mais DES niveaux de lecteur d'où la difficulté. HB 11 février 2006 à 13:27 (CET)

Je suis absoluement d'accord avec ça - et pas vraiment avec Arnaudus. Cependant, il y a peut être moyen de réconcilier tout le monde. Si la définition vulgaire de nombre réel est 'nombre associé à une longueur', alors il serait bon, à chaque fois qu'un résultat intermédiare est obtenu au cours de l'histoire, de montrer en quoi ce résultat intermédiare ne résoud pas le problème de base qui est de pouvoir mesurer toute les longueurs (et en utilisant cette définition vulgaire). Cependant, si il est relativement facile de montrer que les rationnels ne permettent pas de esurer toute les longueurs (racine de 2), on ne peut pas exhiber tous les nombres réels pour expliquer que les suites de Cauchy permettent de converger vers n'importe quel réel (ça n'a pas de sens). On en revient fondamentalement au problème de base : si on veut comprendre les mathématiques, il faut étudier les mathématiques. Un nombre réel et tout sauf une évidence. Note pour Arnaudus : dans la vrai vie on n'utilise jamais les nombre réels pour ce qu'ils sont. Plus exactement, on utilise certaines sous parties des nombres réels qui ont des propriétés beaucoup plus fortes que les réels : les entiers, les décimaux à développement fini (en gros, ce sont des entiers, comme 3.1415926535898 à la place de pi), et de temps en temps, quelques rationnels n'entrant pas dans les catégories précédantes, comme pour diviser un gâteau en 5... Et en informatique, sauf représentation symbolique (pi, e, 1/3 ...) , PERSONNE n'utilise JAMAIS l'ensemble des nombre réels pour calculer car presque tout cet ensemble ne peut pas être représenté sur un ordinateur - v_atekor 20 février 2006 à 11:30 (CET)

Bonsoir Arnaudus. J'ai lu en long et en large cet article (je me suis permis d'y apporter quelques corrections éditoriales) et je ne peux m'empècher de citer une anecdote à propos des Nombres Réels d'un de mes professeurs de mathématiques / physiques des années 1975 que je ne remercierai jamais assez pour sa pédagogie et son talent d'Historien des Mathématiques : Les Nombres réels ne sont peut être pas si réels que cela, les Nombres complexes sont d'une simplicité biblique et quant aux Nombres imaginaires , ils sont vraiment ... réels. Tout cela pour dire que le cheminement d'un concept au cours des siècles est passionnant, mais particulièrement difficile à exprimer. Au risque de me répéter, cet article est une porte d'entrée à tout un univers des Mathématiques. (FYI: cette réponse a été postée sur ta page). Cordialement, --Claudius 18 février 2006 à 22:22 (CET)

Vous pouvez me laisser autant de messages que vous voulez sur ma page de discussion, je ne changerai pas d'avis. Bourrez-vous le mou si vous voulez, auto-congratulez-vous, ça ne m'empêchera pas de penser que cet article n'a pas été écrit pour le lecteur. Il y a des parties que je ne comprends pas (en gros, toute la deuxième partie), et j'ai assez de confiance en moi pour penser que si je ne comprends pas, c'est que c'est mal expliqué (si vous avez envie de me répondre que je n'ai pas les bases, c'est qu'on ne partage pas du tout la même conception de ce que peut être un article encyclopédique). En gros, encore une fois, cet article a été écrit par et pour des gens qui maîtrisent parfaitement le concept de nombre réel. La moindre ligne qui ne puisse pas être comprise par un non-mathématicien devrait dégager, elle n'a rien à faire dans un tel article. Et la partie que je comprends (intro et historique) n'est carrément pas claire. Testicule de bouc, allez voir l'article anglais! C'est pas de ma faute si les mathématiciens ne sont pas foutus de vulgariser, mais c'est quand même pas dur de parler de nombre à virgule, positif ou négatif, avec un nombre fini ou infini de décimales! C'est trop simple pour vous ou quoi? Il faut lire tout l'article français pour comprendre qu'ils peuvent être négatifs, ces nombres réels! On n'explique même pas pourquoi ils s'appellent "réels"! Au lieu de venir m'expliquer qu'on n'a pas besoin de parler de l'informatique puisque les "real" et autres types flottants ne sont pas des vrais réels, vous ne vous rendez pas compte que c'est ça qui est attendu d'un article encyclopédique? Enfin, je suis toujours très surpris par le plan. La partie Historique devrait être un article à elle seule, la partie maths aussi, pour ne laisser ici que la partie accessible (et utile) des réels (encore une fois -> en:). Je ne peux pas vous empêcher de voter "pour" comme des moutons, mais laissez-moi le droit de m'exprimer et de ne pas participer à cette liesse collective. Arnaudus 22 février 2006 à 17:11 (CET)

J'ai fait quelques ajouts par rapport à ce dernier commentaire... Pour ce qui est de l'historique qui n'est pas accessible, je pense qu'on en est à un point d'intersection où le lecteur doit faire un effort (no pain, no gain) et où le matheux doit en faire un autre, de meilleure vulgarisation, ce qui (j'espère !) viendra avec le temps, avec le développement de la discipline de la vulgarisation des sciences. Gene.arboit 22 février 2006 à 17:59 (CET)

Moui... Je pense que ça ira mieux avec ce paragraphe en plus. Pour utiliser des nombres décimaux à développement décimal fini, il vaut mieux utiliser le concept de nombre entier (arf, avec une p'tit' division) que des réels, c'est quand même plus simple :)

[modifier] Un avis

J'interviens ici puisque trop "jeune" pour voter. Tout d'abord je dois dire que le matériau réuni dans la page nombre réel actuellement me semble extraordinairement riche, fascinant et bien présenté. Mais si chaque paragraphe me paraît génial, le plan de l'ensemble (1. Les problèmes, 2. Les solutions) est plus difficile à appréhender et participe peut-être au malaise de certains lecteurs.

Je ne pense pas que la solution serait de séparer "histoire des maths" et "maths proprement dites", ce qui me paraît un peu artificiel : certains des concepts soulevés ici sont très avancés et leur maturation très lente le montre bien ; on ne peut pas "faire semblant" de les présenter (même si on peut toujours améliorer la façon dont on les présente).

En revanche il me semble qu'il y a deux plans qui sont un peu mélangés dans l'article et que cela peut créer un sentiment de confusion

• d'une part l'introduction de nouveaux nombres pour raisons algébriques : si les nombres complexes, nombres négatifs ont précédé de beaucoup les réels, c'est qu'ils sont plus simples à appréhender et répondent à des préoccupations immédiates du mathématicien, du physicien, du géomètre. Le problème des "nombres comme longueurs" se classe d'ailleurs à mon avis dans cette catégorie.
• d'autre part, le fait de devoir "boucher les trous", pour des raisons qui relèvent de l'analyse. Il faut d'ailleurs noter qu'on peut faire et qu'on a fait très longtemps de l'analyse poussée sans avoir défini ce concept. Il s'agit vraiment d'une préoccupation de mathématicien, a posteriori.

Peut-être, si l'article actuel ne passe pas, peut-on imaginer de séparer plus nettement ces deux moments (un article coupé en deux phases, ou deux articles -- on peut articuler avec l'article nombre) ? Peps 23 février 2006 à 14:35 (CET)

[modifier] Réactions aux commentaires de Bibi Saint Pol

Intéressant la dernière remarque de Bibi Saint Pol : "Bof, rien que de la vulgarisation, rien de plus que ce que l'on peut trouver dans un bouquin de Terminale". Outre le fait que tu n'as pas dû ouvrir un bouquin de Terminale depuis 50 ans ou que tu dois confondre Terminale et cours de Licence, je t'engage à entamer un dialogue constructif avec Arnaudus sur le niveau technique de cet article. Vos deux critiques confirment mon point de vue. Un article de mathématiques ne pourra jamais satisfaire tout le monde. Bon, je retourne créer des articles ésotériques (selon Arnaudus) et trop vulgarisés (selon Bibi). Bonne continuation. HB 4 mars 2006 à 14:48 (CET)

Ma dernière ouverture de bouquin de terminale remonte à exactement huit ans et mes cours de licence, à 5 ans. C'était le sens de ma réserve sur la clôture algébrique et la cardinalité, qui effectivement sont deux points abordés en licence. Je maintiens donc en mon âme et conscience que le niveau de traitement est de type livre de terminale (je ne pense pas que la situation ait tellement regressé en seulement 8 ans) ; un plutôt bon livre d'ailleurs, mais pas ce que j'attends d'un AdQ sur le sujet.

Sur le problème du niveau à choisir, je pense que la comparaison avec des encyclopédies « traditionnelles » aiderait à cadrer les choses. Pour le peu que j'en ai consulté dans ce domaine, il me semble que les articles de ces encyclopédies deviennent rapidement techniques et, de fait, accessibles aux seuls initiés. Je n'ai rien d'ailleurs contre une partie de vulgarisation (via l'histoire du concept), mais on ne peut pas se contenter de ça. Bibi Saint-Pol (sprechen) 4 mars 2006 à 15:18 (CET)

Il y a 8 ans en TS on ne parlait ni de suite de Cauchy, ni d'ensemble totalement ordonné, ni d'espace complet, ni de corps archimedien , quant aux démonstrations sur équivalence entre propriété de la borne supérieure et suite adjacente, il n'en était pas question ... Ceci n'a qu'un lointain rapport avec l'article mais c'est juste pour te rappeller de ne pas tomber (si jeune) dans le travers classique de "de mon temps...."HB 4 mars 2006 à 17:19 (CET)

Merci bien du conseil ; j'en ferai bon usage.

Le problème reste cependant entier de savoir quel niveau les articles de mathématiques doivent viser, s'ils doivent en viser un. Bibi Saint-Pol (sprechen) 5 mars 2006 à 12:33 (CET)

Quel niveau ? Je pense qu'il faut voir au cas par cas, en fonction du flux de lecteurs supposé. Une foultitude de personnes sont susceptibles de cliquer sur l'article nombre réel, et son niveau de rédaction conviendra à mon avis à la plupart d'entre eux. Ceux qui veulent/peuvent pousser plus loin iront voir le procédé de complétion d'un espace métrique par exemple. Bien peu de profanes iront directement sur l'article espace complet (quelques malheureux qui n'auront pas eu de chance en prenant « Une page au hasard » ?) Peps 5 mars 2006 à 13:53 (CET)

Ah, aussi... Si on peut avoir accès aux débats entre Bibi Saint-Pol et Arnaudus autours du niveau de vulgarisation ésotérique visé ce sera gentil :). Accessoirement, un article (pas forcément celui-ci) peut être accessible à un étudiant en terminale et complet - A moins que les élèves de 18 ans n'aient pas droit à comprendre les mathématiques? v_atekor 6 mars 2006 à 12:07 (CET)

Pas sûr qu'on soit si en décalage que ça avec Bibi (tu permets que je t'appelle Bibi?). on reproche tous les deux à l'article son hétérogénéité. Selon certains, ca permet à tout le monde d'y trouver son compte, mais personnellement, je pense que personne n'y trouve son compte non plus. J'avais aussi trouvé que les exemples du début (par exemple sur la racine carrée de 2) étaient trop détaillés (et d'un niveau trop faible). D'ailleurs, on peut se demander leur intérêt dans l'article sur les nombres réels. Bon, OK, on diverge sur la fin de l'article : je pense que ce ramassis de trucs techniques est à peine encyclopédique. Si un mécano écrit "La tête de 5 des soupapes rotatives peut être clipsée dans le chanfrein des moyeux A et R", vous lui diriez : charabia technique, style non encyclopédique. Par contre, le truc des corps archimediens complets, c'est de la culture... Chacun son avis, hein, mais pour moi, c'est du charabia technique. Arnaudus 6 mars 2006 à 13:07 (CET)

D'un autre côté, des mathématiques sans preuves, c'est de la numérologie... Sinon, l'il y a des articles "techniques" sur les réels (complétude, construction...) donc il me semble bien que celui ci doit être plus centré sur la partie historique et comprenne une introduction et un premier chapitre bien vulgarisé, le reste étant "accessible", autant que possiblev_atekor 6 mars 2006 à 13:32 (CET)

Je confirme que nous ne sommes pas si en décalage que ça avec Arnaudus (qui permet que je l'appelle Arnaudus je pense) : nous reprochons tous deux à l'article d'abord son inconsistance de traitement. Le début (globalement jusqu'à 2.3) opte pour un ton pédagogique à la limite du style encylopédique — voire pas du tout pour la première section -> Wikibooks (Wikipédia n'est pas un manuel de sciences). La partie Historique devient intéressante et bien rédigée vers la fin, puis on plonge dans l'approche axiomatique qui a été vidée de son contenu pour raison de trop grande technicité, mais on empile quand même derrière toute sorte de propriétés qui semblent déplacées par rapport à ce qu'on a lu jusqu'à présent. Donc je serais pour un remodelage de cet article qui supprimerait la première section, remodèlerait la partie historique (I), réinclurait la partie construction dans une présentation axiomatique (II), et citerait les principales propriétés qui seraient développées dans un article séparé (III — comme le souligne Arnaudus, cette partie est un peu « de la cuisine », et il me semble quand même plus essentiel de présenter l'axiomatique que les propriétés). Bibi Saint-Pol (sprechen) 6 mars 2006 à 14:24 (CET)

La partie axiomatique n'est absoluement pas vidée de contenu: les deux définitions axiomatiques sont données, la démonstration de leur équivalence se trouve dans les boîtes déroulantes. Mais peut-être veux-tu parler de l'absence des deux (trois) systèmes de construction (construction ≠ définition axiomatique) ? Ils ont été développés dans un article à part pour alléger cette partie. Il suffit de regarder l'article en question pour voir qu'il n'est pas raisonnable de tout mettre dans le même. Quant à la première section, elle a justement été rajoutée pour tenir compte des remarques d'Arnaudus. Vous avez beau dire, Arnaudus et toi, vous n'êtes pas d'accord sur le fond. Vous avez l'un et l'autre des raisons légitimes mais contradictoires de penser que l'article n'est pas de qualité. Ce n'est pas grave en soi mais il vous serait difficile d'effectuer une refonte de l'article en gardant un objectif commun. Pensez-y avant de vous lancer dans de grandes modifications. HB 6 mars 2006 à 17:40 (CET)

Je serais intéressé pour savoir ce qu'Arnaudus préconiserait comme refonte de l'article. Bibi Saint-Pol (sprechen) 6 mars 2006 à 18:42 (CET)

À vue de nez, je m'inspirerais de la construction de l'article anglophone : une première partie sur la base des nombres réels, rigoureuse mais accessible : on les note R, positifs ou négatifs, nombre fini ou infini de chiffres après la virgule, exemples de réels non décimaux, approximations usuelles (informatique par exemple), propriétes de base, et finir sur la notion qu'en pratique, on n'a pas vraiment besoin des nombres réels (c'est donc une construction matheuse). Puis historique, qui n'est pas si mal dans l'article actuel -- il faut juste être beaucoup plus clair sur les équivalences : associer un réel à une longueur, c'est vraiment crade, et je ne suis pas sûr que ça soit une bonne idée de le faire comme ça. Les propriétes des réels, qui est franchement hyper-technique, pourrait être traitée dans uyn raticle à part, ou mieux dans un Wikibook, puisuqe les infornations sont peu encyclopédiques (aucune analyse possible : c'est juste une sorte de formulaire non expliqué). Arnaudus

Le hic c'est que la définition que tu donnes est tout sauf rigoureuse. Un nombre réel et nombre décimal ce n'est pas la même chose a priori (Même si on peut démontrer a posteriori que les deux ensembles sont égaux)

Euh j'ai jamais dit ça, hein : décimaux < rationnels < réels, mais on peut bien représenter tous les réels avec un nombre infini de chiffres après la virgule, non? Arnaudus 7 mars 2006 à 12:47 (CET)

Ben... d'abord, tes inclusion ça ne va pas : Rationnel < réel (Q<R). Tout décimal est un réel et tout réel a une représentation décimale infinie donc D=R, mais pas par définition (et c'est plus qu'une nuance). Donc Q<D=R. Et Q < D, mais pas le contraire (si tu admets les développements illimités). Définir les réels comme étant les décimaux, c'est quand même choquant, même si les ensembles sont égaux. Si on le fait, on ne peut précisément pas prétendre à être rigoureux. Et en plus, les lecteurs qui voudront aller plus loins ne comprendront pas pourquoi on défini les réels comme l'adhérence des rationnels dans un article "avancé" alors que dans un précédant article c'est défini comme l'ensemble des décimaux. Je préfère lire "Nombre réel: nombre associé à une grandeur mesurable" que lire "nombre réel=nombre décimal". La première proposition est évidement une vulgarisation, mais n'induiera pas le lecteur en erreur, au contraire de la seconde - Note que je suis tout de même d'accord sur le fait de faire plusieurs articles comme tu le décris, mais je ne vois pas comment faire.v_atekor 7 mars 2006 à 13:59 (CET)

C'est vraiment ça que je reproche aux matheux : la sodomie de diptères. Q<D=R ca veut dire que 1/3 appartient à D, alors il faudrait vous mettre d'accord avec les programmes scolaires mais c'est pas ce qu'on apprend au lycée (si mes souvenirs sont bons) : si le nombre de décimales d'un nombre dans D peut être infinie, alors c'est quoi, D, et c'est quoi par rapport à R? Du coup, ca veut dire que pi appartient à D? Ce n'est pas une histoire de rigueur, c'est une histoire de définitions des différents concepts utilisés. Si D=R mais "pas par définition"... ok : je ne comprends rien. Parce que je ne vois pas comment un décimal ne peut pas être défini par une fraction : 0.257 = 257/1000 , 3.14157 = 312157/10000 , et on continue comme ca autant qu'on veut. Du coup, ça prouve quand même que l'article n'est pas clair, parce que je ne vois pas où on peut y retrouver ton affirmation. Arnaudus 7 mars 2006 à 17:53 (CET)

Tout simplement parce qu'un nombre avec un développement décimal illimité a son développement décimal ... illimité! Donc sans limite (Donc si tu mets un 0 et une inifinité de 3 après la virgule tu auras exactement la valeur 1/3. Oui Pi à une représentation décimale illimité. (Et 1/3 aussi). Si tu ne considères que les développements décimaux finis (quelque soit la borne que tu prennes) alors tu as raison, cet ensemble est strictement contenu dans les rationnels (Q) (il est inclu et plus petit que Q, car 1/3, par exemple, ne peut être représenté). Comment un décimal ne peut être défini par une fraction : avec un développement a-périodique infini. Il y a beaucoup de concepts qui changent quand tu considères l'infini. v_atekor 7 mars 2006 à 18:03 (CET)

Un nombre décimal est un nombre qui a une représentation décimale finie. Fin de la discussion. R 7 mars 2006 à 18:08 (CET)

Merci v_atekor 7 mars 2006 à 18:10 (CET)

Revenons au point de départ de la discussion : définir les réels comme correspondant à une longueur ou à une grandeur mesurable est une tautologie puisqu'on a les a construit précisément pour fournir une représentation des longueurs qui corresponde à notre perception intuitive de leurs propriétés. Cela justifie l'importance qu'ont les réels dans les mathématiques mais n'explique pas ce qu'ils sont. R 7 mars 2006 à 18:08 (CET)

Oui - C'est à dire comment on part du concept de longueur (ce que l'on veut exprimer) et qu'on arrive à l'adhérence de Q, et en quoi les autres ensembles ne satisfont pas à l'objectif de base. v_atekor 7 mars 2006 à 18:17 (CET)

Si on prend comme définition de « nombre réel » : « correspondant à une longueur ou à une grandeur mesurable », je ne vois aucune raison de dépasser les nombres constructibles à la règle et au compas pour les géomètres (ou même, pour les physiciens, les nombres décimaux !). Si vous voulez atteindre le « vrai » ensemble des réels, c'est la notion de complétion (boucher les trous) qui est primordiale, et ça ne concerne que les analystes. Il me semble qu'on mélange en permanence les deux sujets. Car enfin dire qu'une grandeur physique est un réel, c'est assez cocasse : la constante de Planck est-elle un réel algébrique ou transcendant ? ça ne veut rien dire, vu qu'elle est vouée à n'être connue qu'avec une certaine précision ! Peps 7 mars 2006 à 22:18 (CET)

et π (transcendant) ? et le côté d'un cube de volume 2 ? (algébrique mais non constructible) . Non, les nombres réels ne sont pas seulement l'affaire des analystes HB 7 mars 2006 à 22:44 (CET)

Effectivement mais il y a plusieurs « étages » de nombres constructibles (règle et compas, ou en admettant des procédés de plus en plus nombreux). Ce que je voulais dire c'est que le géomètre ne sait pas ce que veut dire « boucher les trous », ça ne correspond pas à une activité géométrique (par nature finie). Il se contentera de rajouter une fournée de nombres en fonction des besoins. Le physicien non plus, à mon sens, n'a aucune raison de vouloir boucher les trous. Il fait des calculs de plus en plus précis. Après tout on fait comme si la limite était une évidence, on s'en est bien passé pendant fort longtemps...Peps 7 mars 2006 à 23:11 (CET)

Par contre, on peut dériver certaines constantes physiques d'équations géométriques ou algébriques qui elles donnent lieu à des nombres qui peuvent être réels algébriques ou transcendants. Est-ce que la nature utilise vraiment cet aspect réel algébrique ou transcendant ? C'est une question philosophique dont la section Nombre réel#Nature : mathématiques et philosophie donne déjà l'ébauche du débat. Gene.arboit 7 mars 2006 à 22:29 (CET)

La problématique des nombres réels est magnifiquement illustrée par Peps. Beaucoup sont restés à la compréhension que l'on avait dans l'antiquité sur la mesure. Peut-on créer un ensemble qui permette d'expliciter les mesures. Une solution qui résoudrait les problématiques de la rêgle et du compas (peut-être dans un sens plus large que la définition stricte) résoudrait une bonne fois pour toute cette épineuse question. Le seul problème que l'on trouve à première vue est un problème de précision. Je peux approximer aussi précisement que je le souhaite la racine de deux, mais dans les rationnels ou les décimaux, je ne peux l'atteindre exactement. Deux millénaires d'histoire des sciences ont largement modifié le débat. Tout d'abord les physiciens n'ont plus besoins de valeurs exactes mais des approximations suffisent, non seulement du point de vue pratique mais aussi depuis le 20eme siècle du point de vue théorique. En revanche, le corps des réels est indispensable pour d'autres raisons: pour disposer d'un ensemble qui permettent la construction d'une géométrie permettant de modéliser le monde, la notion de mesure doit toujours exister, il m'importe peu de disposer d'une précision infinie, en revanche il est indispensable de donner sens à la racine de deux ou à la surface du cercle. Plus important encore, une bonne géométrie doit pouvoir modéliser la notion de vitesse par exemple, or une telle modélisation n'est pas réalisable dans le corps des rationnels avec les propriétés intuitives et usuelles. Il existe alors deux solutions: la solution anglo-saxone consistant à hne pas aborder la difficulté ou cet article, qui pour ceux qui n'ont pas compris ou réside la difficulté ne voit que des complexités inutiles. La constante de Planck est un magnifique exemple. Par définition, une précision infinie n'a pas de sens pour une telle constante. En revanche, Planck suppose dans ses calculs que le cercle est mesurable et utilise les propriétés de différentiations qui n'ont de sens que dans les réels. L'ensemble des réels est donc indispensable pour que les travaux de Planck fasse sens, même si dans ce contexte, la précision infinie n'est qu'un pure contre sens. Peps tu ne poses pas la bonne question sur les calculs de Planck, souviens toi, la constante de Planck s'obtient par une inégalité de Cauchy-Shwarz sur une intégrale. Or tu ne pourras pas définir la théorie de la mesure sur les rationnels. Les suites réglées ne convergerons pas. Les réels disposent d'une propriété largement plus utile que la précision infinie, c'est la notion de complétude qui par exemple permet de batir la notion de mesure (au sens de Riemann qui est ici bien suffisant). Jean-Luc W 20 mars 2006 à 09:07 (CET)

Parfaitement d'accord: le fait que la constante de Planck soit connue avec une précision finie est sans importance si on considère que sa valeur exacte existe. Le quotient donné montre que de la constante de Planck et de la constante réduite, l'une au moins est un nombre transcendant. Quand à l'affirmation selon laquelle ces choses sont sans importance pour le physicien, elle n'est vrai que parce que les physiciens savent que les mathématiciens s'en préoccupent à leur place.

Il faut quand même faire une distinction entre l'univers réel et le modèle mathématique utilisé pour le représenter ! Même si la mécanique quantique est aussi satisfaisante que possible (ce qui n'est d'ailleurs pas parfaitement le cas) ! Peps 28 mars 2006 à 14:15 (CEST)

[modifier] En réponse à R

Je vais voir ce que je peux faire pour une section Nombre réel#Nature : mathématiques et philosophie (à créer même si le lien est bleu d'avance...). Gene.arboit 7 mars 2006 à 19:12 (CET) Section ébauchée. Gene.arboit 7 mars 2006 à 22:12 (CET)

Commentaires dans la section discution... v_atekor 3 avril 2006 à 13:42 (CEST)