Théorème de l'angle inscrit

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Le théorème de l'angle inscrit est un théorème de géométrie euclidienne qui précise que deux angles inscrits dans un cercle interceptant le même arc de cercle ont la même mesure.

Il existe deux théorèmes concernant cette propriété, l'un relatif aux angles géométriques et l'autre relatif aux angles orientés.

[modifier] Énoncé pour des angles géométriques

Deux angles inscrits dans un cercle interceptant le même arc de cercle ont la même mesure.

Un angle est inscrit dans un cercle si son sommet appartient au cercle. L'arc qu'il intercepte peut être sortant ou rentrant. Dans le second cas, les angles géométriques sont obtus mais la propriété s'énonce de la même façon :

Cette propriété est une conséquence directe du théorème de l'angle inscrit et de l'angle au centre. En effet, puisque

et

il vient immédiatement que

La propriété se généralise à l'angle que fait la tangente au cercle en A avec le segment [AB] ainsi qu'à l'angle que fait la tangente au cercle en B avec le segment [BA]

[modifier] Énoncé pour les angles orientés

Pour les angles orientés, la propriété devient une caractérisation du cercle passant par les points AMB.

Si trois points A, M, B ne sont pas alignés, et si (Γ) est le cercle circonscrit aux trois points alors pour tout point N distinct de A et B, on a

On remarquera que l'égalité n'est vrai qu'à π près ce qui explique que les angles géométriques puissent être différents.

Cette propriété est aussi une conséquence directe du théorème de l'angle inscrit et de l'angle au centre pour les angles orientés.