Théorème de l'angle inscrit et de l'angle au centre
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Le théorème de l'angle inscrit et de l'angle au centre est un théorème de la géométrie euclidienne qui précise que , dans un cercle, un angle au centre mesure le double d'un angle inscrit qui intercepte le même arc.
Il existe deux formes de ce théorème, l'une concernant les angles géométriques et l'autre concernant les angles orientés
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[modifier] Énoncé avec les angles géométriques
Si M est un point d'un cercle Γ, de centre O, si A et B sont deux points du cercle alors
si les deux angles interceptent le même arc.
Il existe donc deux situations, l'une où l'angle de sommet M est aigu (donc celui de sommet O saillant) l'autre où l'angle de sommet M est obtus (donc celui de sommet O rentrant)
La démonstration de ce théorème se fait en deux étapes.
- Dans un premier temps on démontre que si [MD] est un diamètre alors on a
En effet, on a
et comme le triangle AOM est isocèle de sommet O, on sait que
D'où l'égalité.
- Dans l'autre temps on remarque que, quelles que soient les positions de A et B l'angle AMB est la somme ou la différence des angles AMD et BMD et qu'il en sera de même pour l'angle AOB concernant les angles AOD et BOD
Cette propriété permet de démontrer le théorème de l'angle inscrit
[modifier] Angle de la corde et d'une tangente
L'angle inscrit 
a même mesure que l'angle 
de la corde [BA] et de la tangente [AT).
est la position limite de l'angle inscrit lorsque M "tend" vers A.
Démonstration : Si H est le milieu de [AB], les angles 
et ont leurs côtés deux à deux perpendiculaires, ils sont égaux.
(OH) étant la bissectrice du triangle isocèle BOA, on a 
et est bien égal à la moitié de l'angle au centre 
.
[modifier] Énoncé avec des angles orientés
L'énoncé et la démonstration de la propriété est beaucoup plus simple avec des angles orientés. Si A et B sont deux points d'un cercle Γ de centre O et si M est un point de Γ distinct de A et B alors
la démonstration utilise simplement la relation de Chasles sur les angles orientés et la propriété des triangles isocèles.
Comme les triangles OAM et OBM sont isocèles, on a
et
En remplaçant on obtient
Cette propriété possède une réciproque : Si A et B sont deux points distincts d'un cercle Γ de centre O et si
alors M est sur le cercle.
Cette propriété se démontre en remarquant que l'égalité précédente empêchent les points M, A et B d'être alignés (l'angle 
n'est jamais nul). On peut donc considérer le centre O' du cercle circonscrit au triangle MAB et utiliser le sens direct de la propriété
on obtient donc
Les triangles isocèles (OAB) et (O'AB) ont même base et même angle au sommet, ils sont donc confondus et O' = O. Le point M est bien sur le cercle Γ.
[modifier] Voir aussi
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