Théorème des bornes

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

La fonction atteint ses bornes en c et d

Sommaire

1 Énoncé
2 Remarques
3 Application
4 Démonstration topologique
5 Démonstration sans les théorèmes topologiques

[modifier] Énoncé

Soit a et b deux réels tel que a est plus petit que b. soit $f\;$ une fonction continue de $\left[ a\ ,b\ \right]$ dans $\mathbb{R}$ . Alors l'image de $\left[ a\ ,b\ \right]$ par $f\;$ contient à la fois sa borne supérieure et inférieure.

[modifier] Remarques

Ce théorème, avec le Théorème des valeurs intermédiaires, est à la fois suffisamment important pour qu'il soit impératif à la compréhension de la théorie des fonctions réelles de la variable réelle et suffisamment complexe pour que sa démonstration soit omise dans les cours élémentaires (il n'est démontré que dans l'enseignement supérieur en France). Si leurs démonstrations sont complexes c'est qu'elles font nécessairement appel à la topologie du corps des nombres réels.

Comme beaucoup de théorèmes fondés sur la topologie, il est intuitif. Il signifie que toute fonction continue atteint son maximum et son minimum si elle est définie sur un intervalle qui contient sa borne supérieure et inférieure.

La topologie fournit deux théorèmes qui rendent la démonstration évidente. Sans la topologie, la démonstration est relativement délicate pour un résultat aussi intuitif. Nous fournissons ici les deux démonstrations, la première car c'est la plus élégante et la deuxième pour éviter de rendre la topologie nécessaire pour bâtir une des théories de base des mathématiques, à savoir l'analyse des fonctions réelles à variable réelle.

On verra, dans les démonstrations, l'importance de se placer dans un intervalle fermé borné et de prendre une fonction continue.

[modifier] Application

Ce théorème est utilisé pour la démonstration du théorème de Rolle qui sert à démontrer le théorème des accroissements finis qui sert à l'analyse en développement limité d'une fonction et du théorème de Taylor.

[modifier] Démonstration topologique

L'intervalle $\left[ a\ ,b\ \right]$ est un fermé borné de $\mathbb{R}$ . La topologie nous apprend que cet ensemble est un compact de $\mathbb{R}$ . Or l'image par une fonction continue d'un compact est un compact. L'image est donc un fermé borné de $\mathbb{R}$ . Si l'image est bornée alors par construction des nombres réels, l'image possède une borne supérieure et inférieure. Puisque l'image est fermée, elle contient sa borne supérieure et inférieure.

[modifier] Démonstration sans les théorèmes topologiques

Nous ne démontrerons ce résultat que pour la borne supérieure, la démonstration pour la borne inférieure étant strictement analogue.

La démonstration utilise la propriété suivante (théorème de Bolzano-Weierstrass) valable sur tout intervalle [a ; b] de $\R$ :

De toute suite $(x_n)_{n\in \mathbb{N}} \;$ d'éléments de [a ; b] , on peut extraire une sous-suite convergente.

Démonstration de la suite extraite

Démontrons par l'absurde que l'image de la fonction $f\;$ est majorée.

Si l'image n'est pas majorée, alors il existe une suite $(f(x_n))_{n\in \mathbb{N}} \;$ telle que, pour tout entier n, $f(x_n)> n\,$ . De la suite $(x_n)_{n\in \mathbb{N}} \;$ , on peut extraire une sous-suite $(x_{\varphi (n)})_{n\in \mathbb{N}} \;$ convergeant vers $\ell$ .

Comme la fonction $f\,$ est continue, la suite $(f(x_{\varphi(n)}))_{n\in \mathbb{N}} \;$ convergerait vers $f(\ell)$ ce qui est en contradiction avec la condition $f(x_n)> n\,$ .

L'image de la fonction $f\;$ est donc majorée, elle admet alors une borne supérieure B, et il existe une suite $(f(x_n))_{n\in \mathbb{N}} \;$ dont la limite est égale à B.

De la suite $(x_n)_{n\in \mathbb{N}} \;$ , on peut extraire une sous-suite $(x_{\varphi (n)})_{n\in \mathbb{N}} \;$ convergeant vers $\ell$ .

Comme la fonction $f\,$ est continue, la suite $(f(x_{\varphi(n)}))_{n\in \mathbb{N}} \;$ converge vers $f(\ell)$ donc $f(\ell) = B$ . La borne supérieure est donc atteinte et le théorème est démontré.