Вајерштрасова теорема о екстремној вредности

Из пројекта Википедија

Непрекидна функција на затвореном интервалу има минимум (плаво) и максимум (црвено).

Вајерштрасова теорема о екстремној вредности (Теорема о екстремној вредности) у математичкој анализи тврди да ако је функција f(x) непрекидна на затвореном интервалу [a,b], тада f(x) има максималну и минималну вредност на том интервалу најмање једном.

То јест, постоје бројеви c, и d у интервалу [a, b], такви да за свако x у [a, b] важи

$f(c) \le f(x) \le f(d).$

Слабија верзија ове теореме је теорема о ограничнеости, која тврди да је f(x), ако је непрекидна на затвореном интервалу [a, b], ограничена на том интервалу. То јест, постоје бројеви l и L, такви да за свако x у [a, b] важи

$l \le f(x) \le L.$

Вајерштрасова теорема о екстремној вредности појачава теорему о ограничености тврдњом да не само да је функција ограничена, већ да има и најмању горњу границу као максимум, и највећу доњу границу као минимум.

Вајерштрасова теорема о екстремној вредности се користи у доказу Ролове теореме.

Садржај

1 Доказ теореме
- 1.1 Доказ теореме о ограничености
- 1.2 Доказ Вајерштрасове теореме о екстремној вредности
2 Примери
3 Тополошка формулација
4 Спољашње везе

[уреди] Доказ теореме

Навешћемо доказ за максимум, а доказ за минимум је врло сличан. Такође, треба имати у иду да је цео доказ изведен у контектсту реалних бројева.

Прво доказујемо теорему о ограничености, која је корак у доказивању Вајерштрасове теореме о екстремној вредности. Основни кораци у доказу теореме о екстремној вредности су:

Доказати теорему о ограничености.
Наћи низ, такав да његова слика конвергира супремуму од f.
Показати да постоји подниз који конвергира тачки унутар домена.
Користити непрекидност да се покаже да слика низа конвергира супремуму.

[уреди] Доказ теореме о ограничености

Претпоставимо да f није ограничена. Тада, по Архимедовом својству реалних бројева, за свако m, постоји x унутар [a, b] такво да f(x) > m. Специјално, за свако k из N, постоји $x k$ такво да f( $x k$ ) > k. Ово дефинише низ $x k$ . Како је [a, b] ограничено, по Болцано-Вајерштрасовој теореми, постоји конвергентан подниз { $x_{n_k}$ } од { $x k$ }. Како је [a, b] затворен, { $x_{n_k}$ } конвергира неком x у [a, b]. Како је f(x) непрекидна на [a, b], знамо да f( $x_{n_k}$ ) конвергира ка f(x). Али, f( $x_{n_k}$ ) > $n k$ > k за свако k, што имплицира да f( $x_{n_k}$ ) дивергира ка бесконачности, што је контрадикција. Следи да је f(x) ограничена одозго.

[уреди] Доказ Вајерштрасове теореме о екстремној вредности

Сада ћемо показати да f(x) има максимум унутар [a, b]. Према теореми о ограничености, f је ограничено одогзо, постоји c најмања горња граница (супремум) од f(x). Неопходно је наћи $x 0$ у [a, b] такво да $c = f (x 0)$ . Нека је n природан број. Како је c најмања горња граница, $c - 1 / n$ није горња граница за f(x). Стога, постоји $x n$ у [a, b] такво да $c - 1 / n$ < f( $x n$ ). Ово дефинише низ { $x n$ }. Како је c горња граница за f(x), $c - 1 / n$ < f( $x n$ ) ≤ c за свако n. Стога, {f( $x n$ )} конвергира ка c.

Болцано-Вајерштрасова теорема нам говори да { $x_{n_k}$ } постоји у { $x n$ } такво да { $x_{n_k}$ } конвергира неком $x 0$ и, како је [a, b] затворен, $x 0$ је унутар [a, b]. Како је f(x) непрекидна на [a, b], {f( $x_{n_k}$ )} конвергира ка f( $x 0$ ). Али, {f( $x_{n_k}$ )} је подниз {f( $x n$ )} који конвергира ка c, па $c = f (x 0)$ . Тада је $x 0$ максимум f(x).

[уреди] Примери

Следећи примери показују зашто домен функције мора да буде затворен и ограничен.

Ограничен. f(x) = x дефиницана на $[0,\infty)$ није ограничена одозго.

Затворен. f(x) = x дефинисана на [0,1) никад не постиже своју најмању горњу границу, 1.

[уреди] Тополошка формулација

У општој топологији, Вајерштрасова теорема о екстремној вредности потиче из опште чињенице да је компактност очувана под непрекидношћу, и чињенице да је подскуп реалне праве компактан ако и само ако је и затворен и ограничен.