Trou noir de Kerr

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Article principal : trou noir

En astrophysique, un trou noir de Kerr désigne un trou noir en rotation et de charge électrique nulle. Il est décrit dans le cadre de la relativité générale par la métrique de Kerr, qui ne dépend que de la masse $M$ et du moment angulaire $J$ .

Sommaire

1 Description
- 1.1 Horizon des événements
- 1.2 Ergosphère
2 Métrique de Kerr
- 2.1 Bibliographie
3 Voir aussi
- 3.1 Liens internes
- 3.2 Liens externes

[modifier] Description

Fig. 1 — Horizon des événements et ergosphère d'un trou noir en rotation. Les particules passant à l'intérieur de l'ergosphère peuvent, dans certaines conditions, gagner de l'énergie mécanique au détriment du trou noir puis s'en échapper. Ce dernier perd alors du moment angulaire.

Contrairement au cas du trou noir sans rotation et sans charge électrique (appelé trou noir de Schwarzschild), le trou noir de Kerr possède une ergosphère en plus de son horizon des événements. Alors que ce dernier est décrit par une sphère de rayon $r h$ , l'ergosphère est un ellipsoïde de révolution dont le petit axe est aligné avec l'axe de rotation du trou noir et de même taille que $r h$ , et le grand axe de taille $r stat$ est situé dans le plan équatorial. De plus, $r_\mathrm{stat} \ge r_h$ . (voir la Fig. 1).

[modifier] Horizon des événements

La présence de l'horizon des événements ne dépend pas de la rotation du trou noir, c'est une caractéristique commune à tous les types de trous noirs qui représente finalement l'essence même de ce qu'est un trou noir. Les particules qui franchissent l'horizon des événements tombent définitivement dans le trou noir sans possibilité de s'en échapper.

Dans le cas d'un trou noir de Kerr, le rayon de l'horizon des événements s'écrit :

$r_{h} = \frac{r_\mathrm{Sh}}{2} \left[ 1 + \sqrt{1-\left(\frac{Jc}{GM^2}\right)^2} \right]$ ,

où $G$ est la constante gravitationnelle, $c$ est la vitesse de la lumière, $r Sh$ est le rayon de Schwarzschild. La valeur du rayon de l'horizon du trou noir de Kerr est donc comprise entre la moitié du rayon de Schwarzschild (quand le moment angulaire est maximale, $J = M c$ ) et ledit rayon (moment angulaire nul, $J = 0$ , cas du trou noir de Schwarzschild).

[modifier] Ergosphère

L'ergosphère est dite limite statique en ce sens que les particules qui la franchissent sont obligatoirement entraînées dans le sens de rotation du trou noir, autrement dit, elles y possèdent un moment angulaire de même signe que $J$ . Cet entraînement confère du moment cinétique et de l'énergie mécanique à une particule qui pénètre dans l'ergosphère puis s'en échappe, de sorte que le trou noir voit son moment cinétique diminuer. C'est l'effet Penrose qui permet de pomper de l'énergie à un trou noir en rotation.

L'ergosphère est décrite par l'équation polaire :

$r = \frac{r_\mathrm{S}}{2} \left[ 1 + \sqrt{1-\left(\frac{Jc}{GM^2}\cos\theta\right)^2} \right]$

où, toutes notations égales par ailleurs, $θ$ désigne l'angle par rapport l'axe de rotation. Il s'agit d'un ellipsoïde de révolution de petit axe $r h$ et de grand axe $r stat = r Sh$ .

[modifier] Métrique de Kerr

La métrique de Kerr s'écrit dans les coordonnées de Boyer-Lindquist. Elle est donnée par (en posant $G = c = 1$ ):

$\mathrm{d}s^2 = -\left(1-\frac{2Mr}{\Sigma}\right)\mathrm{d}t^2 -\frac{4aMr\sin^2\theta}{\Sigma}\mathrm{d}t\mathrm{d}\phi +\frac{\Sigma}{\Delta}\mathrm{d}r^2$ $+ \Sigma \mathrm{d}\theta^2 + \left(r^2+a^2+\frac{2a^2Mr\sin^2\theta} {\Sigma}\right) \sin^2\theta \mathrm{d}\phi^2$ ,

où $\!\ a=J/M$ , $\!\ \Sigma=r^2+a^2\cos^2\theta$ , et $\!\ \Delta=r^2-2Mr+a^2$ .

Notons que l'horizon des événements est donné par la surface $Δ = 0$ , où le coefficient de $d r 2$ diverge. L'ergosphère est donnée par la surface où $1 - 2 M r / Σ = 0$ , où le coefficient de $d t 2$ s'annule.

D'autre part, en posant $J = 0$ on obtient la métrique de Schwarzschild. Dans le cas extrême où $J = \pm M$ , la métrique décrit un objet en rotation qui cesse d'être un trou noir, mais n'est pas à la vitesse de rupture. Finalement, mentionnons que l'on ne connaît pas de métrique à l'intérieur d'un objet à symétrie sphérique en rotation qui prolonge la métrique de Kerr. En revanche, une telle solution est connue dans le cas particulier de la métrique de Schwarzschild.